Differntialgleichung :/

30.06.2004, 13:47

Hmpf

Differntialgleichung :/

y` = ay + b

a = x/1-x² b = 1/1-x²

Kann mir jemand helfen?

Also inhomogene Lösung hab ich
A * e^A(x) raus (A = e^C und C ist eine Konstante aus R) richtig?

Ich hab leider keine Ahnung wie man nun bei der speziellen Lösung weitergeht.

Danke für Lösungen und wäre auch schön wenn mir jemand erklären würde wie man genau vorgeht oder mir einen Link zu ner Page gibt.

30.06.2004, 13:58

Irrlicht

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Hast du die DGL
$\begin{align*} y'+a(x)y+b(x)=0 \end{align*}$
für das Anfangswertproblem y(x0)=y0 zu lösen.
Dann lautet die Lösung des AWPs allgemein:
$\begin{align*} y(x)={e^{-\int _{x0}^{x}a(t){dt}}}\left({y0}-\int _{{x0}}^{x}b(s){e^{\int _{{x0}}^{s}a(t){dt}}}{ds}\right) \end{align*}$

Moechtest du wissen, wie man diese Formel herleitet?

30.06.2004, 14:12

Hmpf

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Yep, das wäre toll ansonsten fehlt ja der Lerneffekt.

30.06.2004, 14:31

Irrlicht

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Ich hab eigentlich deshalb gefragt, weil man oft solche Differentialgleichungen auch anders loesen kann und man nicht notwendig diese Formel braucht. Aber die Formel funktioniert auf alle Faelle - sollte man anderweitig nicht weiterkommen.

Hast du die Dgl.
y' + a(x)y = 0
so siehst du sofort, dass
$\begin{align*} y = C\cdot e^{-A(x)} \end{align*}$
eine Loesung der Differentialgleichung ist, wobei A eine Stammfunktion von
a sei:
$\begin{align*} $ C \cdot e^{-A(x)} $^' = - a(x)\cdot C\cdot e^{-A(x)} \end{align*}$

Um von dieser Loesung der obigen homogenen Dgl. eine Loesung der Dgl.
(*) y' + a(x)y + b(x) = 0
zu bekommen, waehlt man den Ansatz "Variation der Konstanten", d.h.
wir fassen obige Konstante C der Loesung als Funktion in x auf:
$\begin{align*} y = C(x)\cdot e^{-A(x)} \end{align*}$
Diese setzen wir in die Dgl (*) ein und erhalten
$\begin{align*} C^'(x) = e^{A(x)} \cdot b(x) \end{align*}$
Integrieren bringt uns auf
$\begin{align*} C(x) = \int e^{A(x)} \cdot b(x) dx \end{align*}$

Das Anfangswertproblem kann man jetzt durch ein wenig Herumspielen (Grenzen an den Integralen usw.) mit der
endgueltigen Loesung auch loesen.

30.06.2004, 14:35

murkel

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Zitat:

Original von Irrlicht
Hast du die Dgl.
y' + a(x)y = 0
so siehst du sofort, .

woran sieht man das angeblich "sofort" ? also - als normalunterbelichteter Zwangsmathematiker ?

30.06.2004, 14:38

Irrlicht

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Durch "Einsetzen" in die Differentialgleichung?