Term unter einem Logarithmus zusammenfassen

09.01.2007, 20:06

Jens123

Term unter einem Logarithmus zusammenfassen

Also einer von uns muß falsch liegen (ich oder mein Lösungsblatt Big Laugh

)
Denke mal ich, wär schön würde mir einer schnell Antworten können schreib Morgen schon die Arbeit (leider) und müßte es heute noch Wissen traurig

Folgender Term soll unter einen Log. zusammengefasst werden:

$\begin{eqnarray*} (log(x)+2log(y))-(\frac{1}{2}Log(y)+2Log(x)) \end{eqnarray*}$

Ich geb mal fix meinen Lösungsweg an:

Step1: Klammern auflösen
$\begin{eqnarray*} log(x)+2log(y)-\frac{1}{2}Log(y)-2Log(x) \end{eqnarray*}$

Step2: die Faktoren vor den Logarithmen in die Log. nehmen
$\begin{eqnarray*} log(x)+log(y^2)-Log(\sqrt{y})-Log(x^2) \end{eqnarray*}$

Step3: die 2 Log die eine Summe bilden zusammenfassen
$\begin{eqnarray*} log(x*y^2)-Log(\sqrt{y})-Log(x^2) \end{eqnarray*}$

Step4: die 2 letzten Logs zusammenfassen
$\begin{eqnarray*} log(x*y^2)-Log(\frac{\sqrt{y}}{x^2}) \end{eqnarray*}$

Step5: da wieder subtraktion nochmal division ( $\begin{eqnarray*} \frac{x*y^2}{1} \end{eqnarray*}$ multi mit Kehrwert von $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{y}}{x^2} \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} log(\frac{x*y^2*x^2}{\sqrt{y}}) \end{eqnarray*}$

Step5: zusammenfassen und fertig
$\begin{eqnarray*} log(\frac{y^2*x^3}{\sqrt{y}}) \end{eqnarray*}$

(Lösung Arbeitsblatt: $\begin{eqnarray*} log(\frac{y*\sqrt{y}}{x}) \end{eqnarray*}$ (ja steht zu 100% so da))

Viele Grüße
Jens

09.01.2007, 20:12

derkoch

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Lösungsblatt ist richtig!

$\begin{eqnarray*} log(x) -2log(x) = -log(x) = log(\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} log(\frac{a}{b})= log(a) -log(b) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} y^2=y\cdot y = \sqrt{y} \cdot \sqrt{y} \cdot y \end{eqnarray*}$

kannst du alles zusammen basteln! smile

09.01.2007, 20:19

Jens123

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Hmmm kannst du mir auch schreiben was ich oben Falsch gemacht habe? Also welcher Schritt Mathematisch falsch ist?

das $\begin{eqnarray*} log(x)-2log(x) = log(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ versteh ich noch also kann ich nachvollziehen...aber meinen Lösungsvorschlag kann ich auch nachvollziehen Big Laugh

In welcher Reihenfolge würdet Ihr die Aufgabe lösen? (Frage an alle)

09.01.2007, 20:36

derkoch

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$\begin{eqnarray*} log(y^2)-log(\sqrt{y}) = log(\frac{y^2}{\sqrt{y}}) \end{eqnarray*}$

09.01.2007, 21:00

Jens123

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Hmmm mein Problem liegt momentan darin das ich mich Frage was ich in meinem Lösungsvorschlag direkt Falsch gemacht habe, das man es auf verschiedene Weise angehn kann ist mir klar. Nur was habe ich falsch gemacht?

Achja danke für die schnellen Antworten schonmal Gott

Grüße
Jens

EDIT nochnmal umformuliert: warum muß zuerst $\begin{eqnarray*} log(y^2)-log(\sqrt{y}) \end{eqnarray*}$ zusammengefasst werden?

10.01.2007, 08:48

klarsoweit

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RE: Term unter einem Logarithmus zusammenfassen

Zitat:

Original von Jens123
Step3: die 2 Log die eine Summe bilden zusammenfassen
$\begin{eqnarray*} log(x*y^2)-Log(\sqrt{y})-Log(x^2) \end{eqnarray*}$

Step4: die 2 letzten Logs zusammenfassen
$\begin{eqnarray*} log(x*y^2)-Log(\frac{\sqrt{y}}{x^2}) \end{eqnarray*}$

Hier liegt der Hase im Pfeffer. Es gilt:
$\begin{eqnarray*} log_a(x) - log_a(y) = log_a(\frac{x}{y}) \end{eqnarray*}$

aber nicht:
$\begin{eqnarray*} -log_a(x) - log_a(y) = log_a(\frac{x}{y}) \end{eqnarray*}$

Da mußt du erst das Minus ausklammern:
$\begin{eqnarray*} -log_a(x) - log_a(y) = -(log_a(x) + log_a(y)) = -log_a(x \cdot y) \end{eqnarray*}$
Augenzwinkern

10.01.2007, 17:57

Jens123

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Ahhh ok

Super erklärt dank dir! Freude

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