Folge nicht konvergent aber beschränkt?

27.11.2011, 22:37

ascer

Folge nicht konvergent aber beschränkt?

Hi Leute,

ich habe gerade irgendwie ein ziemliches Brett vorm Kopf...und zwar habe ich mir Gedanken über die Frage gemacht: Kann eine Folge nicht konvergent, aber trotzdem beschränkt sein?

Ich habe mir überlegt, dass vielleicht eine Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} = n^2 \end{eqnarray*}$ diese Bedingung erfüllen könnte (quasi eine Parabel), da die Folge niemals kleiner als 0 werden würde, also eine Schranke bei 0 haben müsste.
Konvergent gegen 0 ist die Folge aber nicht, weil $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } n^2 \end{eqnarray*}$ gegen unendlich geht (wird ja exponentiell immer größer).

Ist der Gedankengang so korrekt?

Weiterhin (und da beginnt eigentlich erst so richtig das Grübeln^^), kam die Frage auf, ob es eine Kombination $\begin{eqnarray*} c_{n}=(a_{n}b_{n}) \end{eqnarray*}$ aus 2 Folgen geben kann, die beschränkt aber nicht konvergent ist, wobei meine Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ nicht beschränkt und meine Folge $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ konvergent gegen 0 ist?

Das übersteigt irgendwie aktuell mein Vorstellungsvermögen^^

Mein $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ hat irgendwie immer mein $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ an irgendeinem Punkt zum konvergieren gezwungen...und $\begin{eqnarray*} c_{n} \end{eqnarray*}$ soll ja halt beschränkt, aber nicht konvergent sein.

Wenn $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ unbeschränkt ist, bedeutet das ja, Parabeln, Exponentialfunktionen, bla bla, fallen raus. Alles, was halt irgendwo beschränkt wäre oder einen Grenzwert hätte.

Für $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ gilt ja, dass sie konvergent gegen 0 sein soll. Also beispielsweise $\begin{eqnarray*} b_{n} = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Aber egal ob ich nun eine Gerade oder sonstwas für $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ nehme, damit $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ nicht beschränkt ist, die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} b_{n} = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ zwingt mein $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ irgendwie immer zum konvergieren an einem bestimmten Punkt...

Hab ich da gerade einen Knoten im Kopf?
Oder einfach nur irgendwas falsch betrachtet?

Ich komm da aktuell einfach auf keine befriedigende Antwort^^

grüße & vielen Dank im Vorraus,

ascer

27.11.2011, 23:00

Helferlein

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Was hältst Du von $\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^n\cdot n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n=\frac 1{n} \end{eqnarray*}$ ?

27.11.2011, 23:02

original

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RE: Folge nicht konvergent aber beschränkt?
-
"Kann eine Folge nicht konvergent, aber trotzdem beschränkt sein?"

kann es sein, dass du nur irgendein Beispiel haben willst?
also:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = (-1)^n \end{eqnarray*}$

isit sehr beschränkt und nicht konvergent smile

27.11.2011, 23:25

chrizke

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RE: Folge nicht konvergent aber beschränkt?

Zitat:

Original von ascer
Ich habe mir überlegt, dass vielleicht eine Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} = n^2 \end{eqnarray*}$ diese Bedingung erfüllen könnte (quasi eine Parabel), da die Folge niemals kleiner als 0 werden würde, also eine Schranke bei 0 haben müsste.
Konvergent gegen 0 ist die Folge aber nicht, weil $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } n^2 \end{eqnarray*}$ gegen unendlich geht (wird ja exponentiell immer größer).

Nein diese Folge ist nicht beschränkt. Denn eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ heißt beschränkt, wenn es eine Zahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} a_n\leq k\ \ \forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gibt.
Das erfüllt $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ ja wie du schon gesagt hast, nicht.

Dann noch was: Diese Folge wächst nicht exponentiell sondern quadratisch.
Exponentiell wäre zB $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ .

27.11.2011, 23:30

Helferlein

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@chrizke:
Was Du beschreibst ist eine nach oben beschränkte Folge.
Die Folge von ascer ist aber sehr wohl nach unten beschränkt, auch wenn das mit der Konvergenz nicht viel zu tun hat.

27.11.2011, 23:39

ascer

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@original: ja, irgendein Beispiel und vll. mit kleiner Erklärung, danke Augenzwinkern

@Helferlein: ja, sieht gut aus, werd ich gleich mal bissl drüber grübeln und nachvollziehen (:

@chrizke: stimmt, natürlich, es wächst quadratisch.

Aber zu der Beschränkung hab ich jetzt ja nochmal eine Frage: ist es nicht so, dass es obere und untere Schranken gibt?

Also n^2 wird nach oben natürlich immer größer, aber es unterschreitet ja nie einen Wert ( 0 ).
Dementsprechend existiert ja eine "untere Schranke".

Oder ist es bei Folgen nicht so wie bei Funktionen, sprich das "untere Schranken" egal sind und nur "obere Schranken" nach oben hin für die Beschränktheit gelten?

Ich hätte halt gesagt, dass eine Folge beschränkt ist, wenn gilt das:
$\begin{eqnarray*} \exists k \in \mathbb R \geq a_{n} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
(obere Schranke)

und/oder

$\begin{eqnarray*} \exists u \in \mathbb R \leq a_{n} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
(untere Schranke)

Ist das also falsch??

28.11.2011, 10:02

original

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.
"Kann eine Folge nicht konvergent, aber trotzdem beschränkt sein?"

Zitat:

Original von ascer

@original: ja, irgendein Beispiel und vll. mit kleiner Erklärung, danke Augenzwinkern

ein einfachstes Beispiel mit Erklärung habe ich dir doch oben schon angeboten ..
kann doch nicht sein, dass ich dich damit überfordert habe?

also noch eins:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n\cdot (-1)^n +1}{n} \end{eqnarray*}$

.. ist nach oben und nach unten beschränkt - den Nachweis schaffst du sicher alleine..
.. ist nicht konvergent (Tipp: es gibt zwei verschiedene Häufungspunkte)

.

28.11.2011, 13:31

ascer

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überfordert nicht, nein Augenzwinkern

Aber es sollte schon eine "normale" Folge sein, also n Element von N abgebildet auf R und wenn mich nicht alles täuscht, müsste (-1)^n doch N abgebildet auf C, also den komplexen Zahlenbereich, sein?!

28.11.2011, 13:34

Mulder

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Was ist denn an

$\begin{eqnarray*} a_n = (-1)^n \end{eqnarray*}$

bitte "unnormal"? verwirrt

Und wieso C? Für welche n wird denn $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ bitte komplex?

Vielleicht schreibst du von dieser Folge einfach mal die ersten paar Folgenglieder hin, dann erkennst du schnell, was da passiert.

28.11.2011, 13:47

ascer

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oh ja, stimmt, ich Dödel, ich dachte gerade daran wenn ich z.B. (-1)^1.3 rechne, z.B., aber das ist ja Schwachsinn, 1.3 ist ja kein Element der natürlichen Zahlen^^ Ups

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