Menge aller magischen Quadrate=Unterraum

28.11.2011, 12:50

MQ

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Menge aller magischen Quadrate=Unterraum

Meine Frage:
Ich habe zu zeigen,dass die Menge MQ aller magischen Quadrate ein Unterraum von M(3,3;R)ist.

Meine Ideen:
Eine 3 3Matrix A = (aij ) ist ein magisches Quadrat, wenn
a1j +a2j +a3j = ai1+ai2+ai3 = a11+a22+a33 = a13+a22+a31
für alle i ; j ,
d. h. wenn die Summe über alle Zeilen, alle Spalten und
Diagonalen jeweils den gleichen Wert ergibt.
Sind A und B magische Quadrate, so auch A + B, ebenso sind
skalare Vielfache eines magischen Quadrats wieder magische
Quadrate.
Es folgt, dass die Menge MQ aller magischen Quadrate einen
Unterraum aller des Vektorraums aller 3 3Matrizen bildet.
Jetzt muss ich diese Überlegungen nur noch mathematisch nachweisen und da liegt mein Problem.

28.11.2011, 13:07

Iorek

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Wo ist denn das Problem die [Artikel] Untervektorraumbedingungen nachzurechnen?

28.11.2011, 13:09

Mulder

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RE: Menge aller magischen Quadrate=Unterraum
Naja, du musst es halt nur in Form von Matizen mit dieser Indexschreibweise hinschreiben. Ist ein bisschen Schreibarbeit, aber es geht. Schreib dir also zwei magische Matrizen $\begin{eqnarray*} A = a_{ij} \, , B=b_{ij} \end{eqnarray*}$ hin und bilde die Summe $\begin{eqnarray*} A+B=C \end{eqnarray*}$ und zeige, dass auch $\begin{eqnarray*} C=c_{ij} \end{eqnarray*}$ wieder ein magisches Quadrat ist. Dabei verwendest du, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ magische Quadrate sind.

Übrigens wäre auch noch kurz zu erwähnen, dass besagter Unterraum nicht leer ist (ist die Nullmatrix ein magisches Quadrat?).

Edit: Ich räume für alles weitere dann mal das Feld.

28.11.2011, 13:48

MQ

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RE: Menge aller magischen Quadrate=Unterraum
Die nullmatrix ist natürlich ein magisches Quadrat
Ich weiß nicht so genau wie ich das jetzt allgemein formulieren soll
mir ist klar,dass wenn man zwei magische quadrate miteinenader addiert kommt natürlich wieder eine magisches quadart heraus
kannst du mir das für die addition vllt mal vorführen? für dei multiplikation ist es ja relativ einfach denn ich jetzt sage b*(aij) da es eine Skalarmultiplikation ist kann ich das b wieder ausklammern und dann bleibt es ja ein magisches Quadrat.

28.11.2011, 13:53

Iorek

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Verfolge doch einmal den Tipp von Mulder, wie sieht ein magisches Quadrat A aus, wie sieht ein magisches Quadrat B aus (genauer: wie sehen die Einträge aus, was weißt du dadrüber?) Wie sehen dann die Einträge von A+B aus, was kann man dadrüber sagen? Erfüllen diese auch die Eigenschaft für ein magisches Quadrat?

28.11.2011, 14:04

MQ

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A= a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
+
B= b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
=
c=a11b11 a12b12 a13b13
a21b21 a22b22 a23b23
a31b31 a32b32 a33b33
und was soll ich nun sehen?

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28.11.2011, 14:11

Iorek

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Erst einmal solltest du bitte den Formeleditor zur Darstellung von Matrizen verwenden, so ist das hässlich zu lesen.

Dann solltest du das Gleichheitszeichen ein wenig zurückhaltenderverwenden. Bei dir steht (verkürzt) $\begin{eqnarray*} A=B=A+B \end{eqnarray*}$ , was offensichtlich nicht immer gilt. Außerdem hast du $\begin{eqnarray*} A+B \end{eqnarray*}$ falsch berechnet, schließlich werden die jeweiligen Einträge nicht komponentenweise multipliziert sondern addiert.

28.11.2011, 14:18

MQ

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RE: Menge aller magischen Quadrate=Unterraum
Gut verwende ich beim nächsten Mal aber was sehe ich jetzt an der Matrix C das es eine quadatisches quadrat ist, den es enthält ja wieder die quadratzahlen der quadrate A und B

28.11.2011, 14:38

Iorek

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Was meinst du mit Quadratzahlen?

Noch einmal: Deine Matrix C ist bisher noch falsch, es wird nirgendwo multipliziert.

28.11.2011, 18:37

MQ

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RE: Menge aller magischen Quadrate=Unterraum
stimmt it mir gar nicht aufgefallen so müsste es richtig sein
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \\ a_{31}+b_{31} & a_{32}+b_{32} & a_{33}+b_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.11.2011, 18:43

Iorek

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Jetzt das ganze noch in die LaTeX-Umgebung setzen, dann wird es auch richtig dargestellt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was muss jetzt erfüllt sein, damit auch diese Matrix die Anforderungen für ein magisches Quadrat erfüllt?

28.11.2011, 18:51

MQ

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Jetzt müssen ja die Zeilensummen und Spaltsumme und Diagonalen wieder eine konstante ergeben.

28.11.2011, 18:52

Iorek

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Dann bilde doch einmal die Summen.

28.11.2011, 19:10

MQ

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Diagonale
(a11+b11 a22+b22 a33+b33)
muss ich alle zeilen bzw spalten aufaddieren oder reicht eine spalte weil theoretisch müsste jede spalte ja das gleiche ergeben genauso bei den zeilen

28.11.2011, 19:17

Iorek

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Wenn du begründen kannst, wieso jede Spaltensumme, Zeilensumme und die Summe der Diagonaleinträge den gleichen Wert hat, dann reicht das natürlich aus. Bisher ist das ja aber nur eine Vermutung und nicht direkt ersichtlich.

28.11.2011, 19:20

MQ

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Ich weiß eben nicht wie ich es ersichtlich machen soll

28.11.2011, 19:25

Iorek

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Wir wissen, dass A und B magische Quadrate sind, benennen wir die Zeilensumme in A einmal mit a, in B entsprechend mit b, das brauchen wir später.
Jetzt musst du zeigen, dass die jeweiligen Summen in A+B auch übereinstimmen. Und dazu solltest du dir einmal exemplarisch etwa die erste Zeilensumme ordentlich aufschreiben, da wirst du nicht drum rum kommen.

28.11.2011, 19:32

MQ

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Zeilensumme
(a11+b11 a12+b12 a13+b13)
und das ist ja das gleiche wie
(a11 a12 a13)+(b11 b12 b13)

28.11.2011, 19:34

Iorek

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Nein, das ist nicht die angestrebte Summe. Du solltest alle Einträge der ersten Zeile addieren (und anschließend ähnlich wie du es schon gemacht hast umsortieren).

28.11.2011, 19:38

MQ

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(a11+b11 a21+b21 a31+b31)
(a11 a21 a31) (b11 b21 b31)
und das wäre dann ja das gleiche wie die diagonaleionträge

28.11.2011, 19:41

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek
Du solltest alle Einträge der ersten Zeile addieren

Du musst die Hilfe schon annehmen. unglücklich

unglücklich

Was hast du da jetzt gemacht, wo addierst du alle Zeileneinträge der ersten Zeile? Und wieso kommen da jetzt auf einmal die Diagonaleinträge vor? Die haben doch mit dem aktuellen gar nichts zu tun.

28.11.2011, 19:46

MQ

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RE: Menge aller magischen Quadrate=Unterraum
erste Zeile
(a11+b11)+(a12+b12)+(a13+b13)

28.11.2011, 19:47

Iorek

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So, was ist mit den Klammern? Müssen die sein? Können die weg? Wie kann man es sich umsortieren? Kann man dann vielleicht etwas bekanntes verwenden und es sich vereinfachen?

28.11.2011, 19:50

MQ

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Ich ehe nichts tut mir leid außer das es (a11 a12 a13)+(b11 b12 b13)

28.11.2011, 19:52

Iorek

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Und schon haben wir wieder keine Summe mehr. unglücklich

unglücklich

Damit das hier nicht ewig auf der Stelle tritt:

Die erste Spaltensumme etwa ist gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} a_{11}+b_{11}+a_{21}+b_{21}+a_{31}+b_{31}=a_{11}+a_{21}+a_{31}+b_{11}+b_{21}+b_{31} \end{eqnarray*}$ .

Nun weißt du etwas über die Summe $\begin{eqnarray*} a_{11}+a_{21}+a_{31} \end{eqnarray*}$ und ebenso über $\begin{eqnarray*} b_{11}+b_{21}+b_{31} \end{eqnarray*}$ . Das solltest du jetzt anwenden.

28.11.2011, 19:54

MQ

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naja das sind die diagona einträge der ausgangsmatrizen

28.11.2011, 19:55

Iorek

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Also ist $\begin{eqnarray*} a_{21} \end{eqnarray*}$ auf der Diagonale der Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zu finden? geschockt

geschockt

28.11.2011, 19:57

MQ

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Nein Blödsinn sry in der 1 spalte der matrix

28.11.2011, 19:59

Iorek

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Überdies haben die Diagonaleinträge aktuell überhaupt keine Bedeutung.

Zitat:

Original von Iorek
Nun weißt du etwas über die Summe $\begin{eqnarray*} a_{11}+a_{21}+a_{31} \end{eqnarray*}$ und ebenso über $\begin{eqnarray*} b_{11}+b_{21}+b_{31} \end{eqnarray*}$ . Das solltest du jetzt anwenden.

Da steckt alles weitere drin.

28.11.2011, 20:06

MQ

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Wenn ich die erste Zeile addiere erhalte ich die Einträge der ersten Spalten der Ausgangsmatrizen aber was mache ich jetzt damit???

28.11.2011, 20:09

Iorek

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Ich verstehe nicht, was du mir mit deinem letzten Beitrag sagen willst.

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist ein magisches Quadrat. Damit kannst du etwas über den Wert der Summe $\begin{eqnarray*} a_{11}+a_{21}+a_{31} \end{eqnarray*}$ sagen.

29.11.2011, 13:30

MQ

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Ich weiß nicht was ich über die summe weiß außer das die immer konstant einen wert ergeben müssen jede zeile jede spalte und auch die diagonalen

29.11.2011, 13:43

Iorek

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Na, das können wir dann doch mal verwenden.

Zitat:

Original von Iorek
Wir wissen, dass A und B magische Quadrate sind, benennen wir die Zeilensumme in A einmal mit a, in B entsprechend mit b, das brauchen wir später.

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