Untervektorräume, Elemente mehrfach definiert

28.11.2011, 13:12

crazy2801

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Untervektorräume, Elemente mehrfach definiert

Meine Frage:
Moin zusammen,

vorab es tut mir leid, aber leider funktioniert mein Formeleditor im Moment nicht unglücklich

unglücklich

Hoffe, es geht erstmal auch so...

Ich hätte da folgende Aufgabe, die mir etwas Schwierigkeiten bereitet.
Es geht darum zu beweisen, ob es sich bei U um einen Untervektorraum des R^2 handelt oder nicht..

U2:= {(x1,x2)? R^2| x1= - x2 oder x1=1}

Davon habe ich auch noch eine andere Teilaufgabe und da heißt es
x1= -x2 und x1=1

Meine Ideen:
Wie ich nachweisen kann, ob es ein sich um einen Untervektorraum handelt, ist klar. Dafür muss gelten:
-U ist Element von R^2
-U ist nicht leer (Nachweis üblicherweise mit dem Nullelement)
- (u1 + u2) muss Element von U sein
- Lamda*u1 muss auch Element von U sein, wobei Lamda Element von K und u1 Element von U ist.

Ich bekomme das auch eigentlich ganz gut hin, wenn z.b. eine ganze Gleichung x1 und x2 definiert, aber wie soll ich das bei der Aufgabe machen, wo gilt x1=-x2 oder x1=1.
Wäre der Vektor (1,-1) dann ein Kandidat der in U enthalten ist? Oder auch der Kandidat (3,-3)? Suche ich mir dann quasi eines aus?

Ich meine bei der 2ten Teilaufgabe müsste es z.b. der Vektor (1,-1) und alle seine Vielfachen sein, dann wäre das Nullelement hier auf gar keinen Fall enthalten und es ist kein Untervektorraum, oder?

Danke für eure Hilfe,
LG

28.11.2011, 13:16

Mulder

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RE: Untervektorräume, Elemente mehrfach definiert

Zitat:

Original von crazy2801
Ich meine bei der 2ten Teilaufgabe müsste es z.b. der Vektor (1,-1) und alle seine Vielfachen sein, dann wäre das Nullelement hier auf gar keinen Fall enthalten und es ist kein Untervektorraum, oder?

Genau. Wenn die Aufgabe wirklich genau so lautet, denn etwas eigenartig ist es ja schon, da liegt ja überhaupt nur ein einziger Vektor drin. Die Vielfachen liegen ja eben auch nicht drin, denn wenn du den Vektor mit 2 multiplizierst, ist ja nicht mehr $\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$ , dann wäre $\begin{eqnarray*} x_1=2 \end{eqnarray*}$ . Übrigens ist der Nullvektor ja auch ein Vielfaches von (1,-1). Einfach 0*(1,-1). Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jetzt also nochmal zur ersten Aufgabe. Es gibt in dieser Menge zwei verschiedene "Arten" von Vektoren.

Entweder sieht er so aus: $\begin{eqnarray*} \binom{x_1}{-x_1} \end{eqnarray*}$

Oder er sieht so aus: $\begin{eqnarray*} \binom{1}{x_1} \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ein beliebier Eintrag ist.

Jetzt überleg mal ein bisschen rum? Liegt eine beliebige Summe zweier solcher Vektoren immer wieder in dieser Menge? Wie sieht es bei Multiplikation mit einem Skalar aus?

Bedenke: Wenn es kein UVR ist, reicht ja ein einfaches Gegenbeispiel schon aus.

28.11.2011, 13:51

crazy2801

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Also gehe ich einmal den ,,1.Fall durch":

Seien u1=(x1,-y1) und u2=(x2,-y2) beliebige Elemente von U, wobei gilt:
x1= -y1 und x2= -y2

ALSO:
u1+u2= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x1+x2 \\ -y1+(-y2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu zeigen:
(x1+x2)=-(-y1-y2)

Es gilt= x1+x2=-y1 + (-y2)
= -y1 -y2
Also wäre in diesem Fall u1+u2 kein Element von U. Richtig?

2te Fall:
Seien u1=(1,-y1) und u2=(1,-y2) beliebige Elemente von U, wobei gilt:
1=-y1 und 1=-y2

u1+u2: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1+1 \\ -y1+(-y2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu zeigen:
(1+1)=-y1 + (-y2)

Es gilt:
1+1=-y1 + (-y2)

Hier wäre u1+u2 dann also Element von U, oder?

28.11.2011, 14:04

Mulder

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RE: Untervektorräume, Elemente mehrfach definiert
Hauptsache, möglichst viele Variablen einführen, damit das Ganze möglichst kompliziert wirkt, nicht wahr? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und nochmal: Bastle ein komplett simples Gegenbeispiel und fertig. Dann brauchst du auch keine Fälle oder sowas. Das Studium ist so schon schwer genug, da muss man sich nicht noch selbst andauernd ein Bein stellen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

(1,-1) liegt in U. (1,2) liegt in U. Was ist mit der Summe?

28.11.2011, 14:18

crazy2801

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jetzt werde ich leicht verrückt. verwirrt

verwirrt

Also meinst du die Summe von (1,-1) + (1,2)= (2,1) ?
Ne das meinst du wahrscheinlich nicht oder?

Also du meinst doch die Summe von (1,-1) + (2,-2)= (3, -3) Das wäre dann hier noch richtig.

Und (1,2)+(1,3)=(2,5).

Irgendwie check ich gerade nichts mehr...

28.11.2011, 14:37

Mulder

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RE: Untervektorräume, Elemente mehrfach definiert
Doch, ich meinte genau das.

Zitat:

Original von Mulder
(1,-1) liegt in U. (1,2) liegt in U. Was ist mit der Summe?

Liegt (2,1) in U?

Zitat:

Und (1,2)+(1,3)=(2,5).

Auch das geht als Beispiel. (1,2) liegt in U und (1,3) liegt in U. (2,5) auch?

Damit U nicht abgeschlossen bezüglich Addition ist, reicht es doch, ein einziges Gegenbeispiel anzugeben. Was fällt dir da so schwer? Du hast ja jetzt sogar selbst eins angegeben.

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28.11.2011, 14:56

crazy2801

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RE: Untervektorräume, Elemente mehrfach definiert
ok, (2,1) und (2,5) liegen nicht drin.

DANKESCHÖN für deine Hilfe.

Kannst du mir vllt. noch einen Tip geben, wie ich das nun am besten skizziere?

Nehme ich mir dann mehrere Punkte sowie (1,-1), (2,-2), (3,-3) und (0,0)?

Wie kann man sowas z.B. bei den Eigenschaften |x1|kleiner gleich|x2| machen?
Einfach so: (0,0), (1,2), (2,3), (3,4)?

oder mache ich mir das gerade zu einfach?

28.11.2011, 14:57

crazy2801

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RE: Untervektorräume, Elemente mehrfach definiert
hmmmmmmmmmmmm

ok, (2,1) und (2,5) liegen nicht drin.

DANKESCHÖN für deine Hilfe.

Kannst du mir vllt. noch einen Tip geben, wie ich das nun am besten skizziere?

Nehme ich mir dann mehrere Punkte sowie (1,-1), (2,-2), (3,-3) und (0,0)?

Wie kann man sowas z.B. bei den Eigenschaften |x1|kleiner gleich|x2| machen?
Einfach so: (0,0), (1,2), (2,3), (3,4)?

oder mache ich mir das gerad zu einfach???

28.11.2011, 15:41

Mulder

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RE: Untervektorräume, Elemente mehrfach definiert
Naja, du kannst zur Veranschaulichung immer erst mal ein paar Punkte einzeichnen, klar. Aber das ist ja noch nicht alles.

Vielleicht kannst du ja Geraden in das Koordinatensystem einzeichnen, die das Gebiet begrenzen? Oder vielleicht besteht die Menge ja auch nur aus Geraden?

Einfach mal anfangen, zu malen.

Zum Beispiel die Menge aller Vektoren (1,y) ist ja einfach eine senkrechte Gerade durch x=1 (wenn du dir so ein karthesisches Koordinatensystem aufmalst). Auch x=-y kannst du einzeichnen. Nach y auflöst ergibt das y=-x und das ist auch einfach eine Gerade.

28.11.2011, 16:48

crazy2801

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aahh, das läuft also ,,ganz normal" - sowie mit funktionen in der schule, wenn du sagst nach y freistellen, dann erinnert mich das an dieses f(x) aus der Schule - also ne Funktion... das funktioniert jedenfalls bei den einfachen dingen.

was ist denn dieses: |x2| kleiner gleich |(x1)|.
ich meine, dieses teil geht auf jeden fall durch den nullpunkt und sollte eine relativ kleine steigung haben, denke ich?!

und bei diesem hier, bin ich mir auch nicht sicher:
x2=(x1)^2

durch das quadrat erinnert es stark an eine Parabel? es ist jeden falls kein untervektorraum. geschockt

geschockt

28.11.2011, 16:56

Mulder

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Wieder analog (wenn wir x1 als die x-Koordinate nehmen und x2 als y-Koordinate (dein f(x)) nehmen):

$\begin{eqnarray*} |y| \leq |x| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$

Der Rest ist halt auch mal ein bisschen Denkarbeit und überlegen, gerade bei den Beträgen (wo auch Fallunterscheidungen hilfreich sein können). Das musst du üben und dir nicht von anderen nur vorkauen lassen. Sonst wirst du immer "unsicher" bleiben.

28.11.2011, 17:45

crazy2801

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ok, gut danke dir nochmals...

ja, es ist wirklich übungssache. mache das ja jetzt das erste mal und habe da nun mal ein bischen was gezeichnet.
am fr. werde ich dann erfahren, ob es so richtig ist..

vielen dank nochmals!

28.11.2011, 18:00

Mulder

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y=x² wird ja kein Problem gewesen sein, oder?

Was hast du denn nun mit den Beträgen gemacht? Ich meinte ja nicht, dass du jetzt komplett alleine weiter machen sollst, es ging mir darum, dass du versuchst, eigene Gedankengänge zu entwickeln.

29.11.2011, 14:34

crazy2801

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also mit den beträgen bin ich überhaupt gar nicht zu rande gekommen - schon bei der summe komme ich nicht mehr weiter. diese ungleichung macht mir arg zu schaffen.

was die skizze betrifft - es müssten doch alljene graden sein, mit m<-1, oder?
vllt bin ich da auch total auf dem holzpfad.

29.11.2011, 14:41

Mulder

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Zitat:

Original von crazy2801
schon bei der summe komme ich nicht mehr weiter

Welche Summe?

Mal dir ein Koordinatensystem und versuch, da einfach mal Punkte einzuzeichnen, für die $\begin{eqnarray*} |x_2| \leq |x_1| \end{eqnarray*}$ gilt. Ganz beliebig.

Begrenzt wird das doch offensichtlich durch $\begin{eqnarray*} |x_2|= |x_1| \end{eqnarray*}$ . Zeichne das doch mal ein. Das ist ja nicht weiter schwer.

Was m nun sein soll, weiß ich nicht.

29.11.2011, 20:52

crazy2801

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sorry, ich meinte mit m die steigung.
denn ich hatte da ein wenig versucht was zu zeichnen und da galt das jedenfalls immer!

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