Konvergenz/Divergenz einer Reihe

28.11.2011, 15:12	MatheKind	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz/Divergenz einer Reihe Hallo, ich bin etwas verwirrt, denn ich habe meine Lösung einer Aufgabe, mit die eines ziemlich guten Studenten verglichen. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{\begin{pmatrix} 2k \\ k \end{pmatrix}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{(2k)!/k!(2k-k)!} = \frac{1}{(2k)!/k!k!} = \frac{(k!)^2}{(2k)!} \end{eqnarray}$ Ich könnte hier eigentlich aufhören, denn $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty} \frac{(k!)^2}{(2k)!} = \infty \end{eqnarray}$ und ist somit divergent. Der andere Student hingegen, wendet noch zusätzlich das Quotientenkriterium an. "Nun, gut, schaden kann es ja nicht", dachte ich mir: Quotienten-Kriterium: $\begin{eqnarray} \frac{((k+1)!)^2}{(2(k+1))!} \frac{(2k)!}{(k!)^2} \end{eqnarray}$ Soweit so gut. Nun kommt der entscheidende Schritt. Ich mache:* $\begin{eqnarray} = \frac{((k+1)k!)^2}{2(k+1)(2k)!} \frac{(2k)!}{(k!)^2}= \frac{(k+1)^2}{2(k+1)} = \frac{(k+1)}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty} \frac{(k+1)}{2} = \infty \end{eqnarray}$ und ist somit divergent. Er macht:* $\begin{eqnarray} = \frac{((k+1)k!)^2 * (2k)!}{(2k+2)(2k+1)(2k)!(k!)^2} = \frac{(k+1)^2}{(2k+2)(2k+1)} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{1}{4} < 1 \end{eqnarray*}$ und somit konvergent. Wer hat nun Recht?! Danke im Voraus! MatheKind
28.11.2011, 15:20	Calahan	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz/Divergenz einer Reihe Er hat recht!
28.11.2011, 15:35	MatheKind	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, er ist bei der Faktorisierung der Fakultät $\begin{eqnarray} (2(k+1))! \end{eqnarray}$ anders vorgegangen als ich, in dem er zuerst ausmultipliziert hat. Ich frage mich, was an meiner Vorgehensweise so falsch ist: $\begin{eqnarray} (2(k+1))! = 2(k+1)(2(k-1+1))! = 2(k+1)(2k)! \end{eqnarray}$ Liebe Grüße MatheKind
28.11.2011, 15:39	Calahan	Auf diesen Beitrag antworten »
Du verlierst unterwegs den Faktor $\begin{eqnarray} (2k+1) \end{eqnarray}$ . Es ist: $\begin{eqnarray} (2n+2)!=\prod_{k=1}^{2n+2} k=(2n+2)(2n+1)\prod_{k=1}^{2n}k=(2n+2)(2n+1)(2n)! \end{eqnarray}$
28.11.2011, 15:55	MatheKind	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, das muss ich mir jetzt auf der Zunge zergehen lassen, danke! Liebe Grüße MatheKind

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