Grenzwert beweisen mit Epsilon-Definition

28.11.2011, 18:11

stulle

Grenzwert beweisen mit Epsilon-Definition

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:

Beweisen Sie mithilfe der Epsilon-Definition des Grenzwertes:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n²-1}{3n²+1} = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

da hab ich absolut keine Ahnung, wie ich da vorgehen soll ..

wenn ich n² ausklammer, kann ich mir letztlich die 1/3 erschließen, aber das ist doch nich der richtige Weg, oder?!

freue mich über Hilfe!

28.11.2011, 18:57

RedNaxela22

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Gib dir einfach ein beliebiges Epsilon größer 0 vor, und dann musst du nur noch zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{n²-1}{3n²+1} - \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ irgendwann kleiner als dieses Epsilon wird.

Das sollte eigentlich nicht so schwer werden. Von der Reihe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ weiß du es ja schon Augenzwinkern

29.11.2011, 11:35

stulle

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$\begin{eqnarray*} | \frac{n²-1}{3n²+1}-\frac{1}{3}| < Epsilon \end{eqnarray*}$

dann lös ich die Betragsstriche einfach auf, und wie mach ich dann weiter?

Bruch erweitern?

dann hätte ich

$\begin{eqnarray*} \frac{3(n²-1)-(3n²+1)}{3(3n²+1)} < Epsilon \end{eqnarray*}$

ist das richtig bisher? wie mach ich dann weiter? den Nenner zu Epsilon ziehen?
ich weiß da wirklich nicht weiter ..

ich versteh gar nicht, warum wir dsa machen .. wo ich doch "nur" Grund- Und Hauptschullehrer werden möchte .. hmpf ..

29.11.2011, 12:03

Calahan

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Zitat:

Original von stulle
ich versteh gar nicht, warum wir das machen .. wo ich doch "nur" Grund- Und Hauptschullehrer werden möchte .. hmpf ..

Wenn ihr euch von dieser Einstellung nicht verabschiedet, dann wäre es mir lieber ihr würdet eure beruflichen Absichten überdenken.
Ein Deutschlehrer, der Goethe nicht kennt, wäre ja auch ziemlich daneben.

Zur Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{n^2-1}{3n^2+1}-\frac 13\right|=\left|\frac{-4}{3(3n^2+1)}\right|=\frac 43\cdot\frac 1{3n^2+ 1}\leq \frac 1n \end{eqnarray*}$

Wenn ihr nun für $\begin{eqnarray*} \left(\frac 1n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ zu vorgegebenem $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein solches $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ findet, dann wird dieses also erst recht für die gegebene Folge genügen.

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