Unabhängigkeit von diskreten Zufallsvariablen
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28.11.2011, 18:23 PPP3 Auf diesen Beitrag antworten »
Unabhängigkeit von diskreten Zufallsvariablen
Hallo,

man habe folgende 3 Zufallsvariablen X,Y und Z:

X und Y sind identisch verteilt mit:
P(X=-1)=0,5
P(X=1)=0,5

analog Y.

Z wird definiert als:

Z=X*Y.

Nun soll ich prüfen, ob sie paarweise unabhängig sind bzw. Ob sie komplett unabhängig sind.

Dazu meine erste Frage. Kann man sagen, wenn X und Z unabhängig sind und auch Y und Z unabhängig sind, dann sind auch X und Y unabhängig?


Dann die nächste Frage wie prüfe ich die paarweise Unabhängigkeit. 2 Zufallsvariablen sind doch unabhängig, wenn für alle Ereignisse aus Omega gilt:

P(X=wi, Y=wj)=P(X=wi)*P(Y=wj)

Dazu habe ich zwei Fragen zum einen weiß ich nicht, wie ich am besten die Verteilung von Z bestimmen soll. Zum anderen nicht, wie ich die Wahrscheinlichkeiten dieser Art berechnen soll:

P(X=wi, Y=wj)

Für Hilfe wäre ich sehr dankbar.
28.11.2011, 18:32 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PPP3
Kann man sagen, wenn X und Z unabhängig sind und auch Y und Z unabhängig sind, dann sind auch X und Y unabhängig?

Nein.

Zitat:
Original von PPP3
Dann die nächste Frage wie prüfe ich die paarweise Unabhängigkeit. 2 Zufallsvariablen sind doch unabhängig, wenn für alle Ereignisse aus Omega gilt:

P(X=wi, Y=wj)=P(X=wi)*P(Y=wj)

Im Grunde genommen ja. Bei zweipunktverteilten Zufallsgrößen (wie hier) reicht es allerdings, das nur für ein relevantes Wertepaar zu untersuchen, z.B. .

Zitat:
Original von PPP3
wie ich am besten die Verteilung von Z bestimmen soll.

Untersuche als erstes, welche Werte annehmen kann - offenbar sind das 1 und -1.

Anschließend musst du bei der Berechnung der -Wahrscheinlichkeiten zusammentragen, welche -Kombinationen zu dem jeweiligen Wert passen, z.B.




Zitat:
Original von PPP3
Zum anderen nicht, wie ich die Wahrscheinlichkeiten dieser Art berechnen soll:

P(X=wi, Y=wj)

sind als unabhängig vorausgesetzt!
28.11.2011, 18:47 PPP3 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erst mal für die schnelle Antwort.

Wenn die von mir angenommene Implikation nicht gilt, gibt es jedoch andere Implikationen für stochastische Unabhängigkeit?

Z.B. X uah. Y und Y uah Z --> X uah. Z? Oder gilt das auch nicht?


Dann wieso reicht es bei Zweipunktverteilungen nur ein Wertepaar zu Untersuchen?



Für Z habe ich jetzt die Verteilung bestimmt. Diese ist dieselbe wie für X und Y. Stimmt das?

Weiterhin woran machst du fest, dass X und Y als unabhängig vorausgesetzt werden? Eventuelle eine dumme Frage von mir...

Dann für die Bestimmung von P(X=1 ^ Z=1) bin ich jetzt so vorgegangen. Und zwar habe ich mir eine Tabelle mit allen Wertepaaren erstellt und dann die klassische Wahrscheinlichkeit bestimmt. Ist das so das prinzipielle Vorgehen für so einen Fall?

code: 
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:

     X     |     Y     |     Z
--------------------------------------
     1     |     1     |     1
     1     |    -1     |    -1
    -1     |     1     |    -1
    -1     |    -1     |     1


Ich glaube aber, dass die Tabelle formell nicht richtig ist. Leider habe ich noch nicht so ein gutes Gefühl für Zufallsvariablen.
28.11.2011, 18:51 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PPP3
Z.B. X uah. Y und Y uah Z --> X uah. Z? Oder gilt das auch nicht?

Das ist dasselbe in grün (nur mit permutierten Buchstaben). Gilt also auch nicht.

Zitat:
Original von PPP3
Dann wieso reicht es bei Zweipunktverteilungen nur ein Wertepaar zu Untersuchen?

Dauert zu lange, das hier zu erklären. Recherchiere mal selbst - wenn du es nicht findest, dann musst du eben alle 4 Wertepaare untersuchen. Augenzwinkern

Zitat:
Original von PPP3
Weiterhin woran machst du fest, dass X und Y als unabhängig vorausgesetzt werden? Eventuelle eine dumme Frage von mir...

Nein, eigentlich nicht. Ich nehme einfach an, dass du "vergessen" hast, das in der Aufgabenstellung zu erwähnen. Ohne diese oder eine adequate Voraussetzung kann man nämlich hier gar nichts konkret berechnen. Schau also nochmal nach in deiner Original-Aufgabenstellung! Augenzwinkern
28.11.2011, 18:55 PPP3 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast recht. Das ist in der Aufgabenstellung angeben. Das habe ich glatt überlesen.

Hast du ein Stichwort zu der Zweipunktverteilung?

Ansonsten stimmt das vorgehen mit der Tabelle?

Die Unabhängigkeit von X,Y und Z habe ich jetzt so widerlegt:

P(X=1 ^ Y=1 ^ Z=1)=1/4

P(X=1)P(Y=1)P(Z=1)=1/8 != 1/4
28.11.2011, 18:57 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PPP3
Die Unabhängigkeit von X,Y und Z habe ich jetzt so widerlegt:

P(X=1 ^ Y=1 ^ Z=1)=1/4

P(X=1)P(Y=1)P(Z=1)=1/8 != 1/4

Freude
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28.11.2011, 19:03 PPP3 Auf diesen Beitrag antworten »

Super langsam wird es. Ich bin mir nur immer noch nicht sicher, was ich da für Werte in meine Tabelle geschrieben habe. Also die Einsen.

Irgendwie fällt es mir noch recht schwer zwischen X und x zu unterschieden und zu Wissen, wann man womit rechnen muss.
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