Reelle Potenzreihen

28.11.2011, 19:14	matheanfängerin	Auf diesen Beitrag antworten »
Reelle Potenzreihen Meine Frage: Hallo, ich hab ein Problem mit dieser Aufgabe und würde mich freuen wenn ihr mir helfen könntet. Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe für $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ und untersuchen Sie auch die Randstellen. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2^{k} }{k^{2} }(x-1)^{5k} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich glaub das ich am Anfang den Grenzwert berechnen muss aber ich weiß nicht wie ich es so umformen kann damit ich zur richtigen Lösung komme.
28.11.2011, 20:42	Sweety91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reelle Potenzreihen Mit der gleichen Aufgabe hab ich auch ein Problem. :-(
28.11.2011, 23:01	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm doch die Formel von Cauchy-Hadamard.
28.11.2011, 23:32	matheanfängerin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollte eigentlich das Quotientenkriterium anwenden aber ich ich weiß wie gesagt nicht wie ich es richtig umformen kann damit ich so kürzen kann das ich den Konvergenzradius erhalte.
29.11.2011, 00:01	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Quotientenkriterium geht auch. Zeig doch mal, was du bis jetzt gerechnet hast.
29.11.2011, 17:25	matheanfängerin	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{ak+1}{ak} = \frac{2^{k}+1(x-1)^{5k+1} }{k^{2}+1 } \frac{k^{2} }{2^{k}(x-1)^{5k} } = 1<br /> \end{eqnarray*}$ Das hab ich gerechnet aber ich glaub ehrlich gesagt nicht das es richtig ist.
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29.11.2011, 18:14	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch nicht 1.
29.11.2011, 18:27	matheanfängerin	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm... ich glaub ich bin doof... Ist denn die vorgehensweise richtig?
29.11.2011, 19:04	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Vorgehensweise ist richtig. Aber richtig gerechnet erhält man doch $\begin{eqnarray} \frac{2^{k+1}(x-1)^{5k+1}}{k^2+1}\cdot \frac{k^2}{2^k(x-1)^{5k}}=2\cdot\left(\frac{k^2}{k^2+1}\right) \cdot (x-1) \end{eqnarray}$ Wenn der Betrag davon für fast alle k kleiner als 1 ist, dann konvergiert die Reihe nach Quotientenkriterium. Wenn er für fast alle k größer oder gleich 1 ist, dann divergiert sie. Nun muss man überlegen, für welche x welcher Fall erfüllt ist.
29.11.2011, 20:05	matheanfängerin	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt doch aber jetzt das der Konvergenzradius 1/2 ergibt oder?
29.11.2011, 20:20	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.
29.11.2011, 21:30	matheanfängerin	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen vielen Dank. Du hast mir sehr geholfen. Eine letzte Frage hätte ich aber noch. Ich würde jetzt einmal 1/2 und einmal - 1/2 in die Anfangsgleichung für x einsetzen. Damit ich die beiden Randstellen betrachten kann. Wäre diese Vorgehensweise richtig?
29.11.2011, 21:38	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt 1. Da der Konvergenzradius 1/2 ist, sind die Randstellen die Punkte 1/2 und 3/2.
29.11.2011, 22:22	matheanfängerin	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh dann denke ich wohl wiedermal viel zu kompliziert. Dankeschön.

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