n-te wurzel aus n // konvergenz

28.11.2011, 19:31	-aaa-	Auf diesen Beitrag antworten »
n-te wurzel aus n // konvergenz Ich soll zeigen, dass die n-te wurzel aus n gegen 1 konvergiert. soweit so gut, hierfür soll ich wie folgt vorgehen: $\begin{eqnarray} C_{n}:= \sqrt[n]{n} -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=(1+c_{n} )^n \geq 1 + \frac{n(n-1)}{2} c_{n}^2 \end{eqnarray}$ dies muss ich jedoch zeigen, es ist nicht gegeben. wie ich danach weiterkomme weiss ich, jedoch habe ich probleme beim beweis dieser ungleichung. es sieht ja schon der bernoulli-ungleichung: $\begin{eqnarray} (1+x)^n \geq 1+nx \end{eqnarray}$ etwas ähnlich, jedoch sonst weiss ich auch nicht weiter. und aus dieser ähnlichkeit konnte ich leider auch noch nichts schließen, umformungen auf meinem schmierblatt blieben ergebnislos.
28.11.2011, 19:35	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Benutze den binomischen Lehrsatz. Lasse alle Summanden weg, außer eben die zwei, die da stehen.
28.11.2011, 20:08	-aaa-	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah danke, war ja doch ganz leicht: weiter wollte ich vorgehen wie folgt direkt mit der def der konvergenz arbeiten: $\begin{eqnarray} \|\sqrt[n]{n} -1 \| < \epsilon \\ \sqrt[n]{n} < \epsilon + 1 \\ n < (\epsilon +1)^n \end{eqnarray}$ Jetzt wählen wir $\begin{eqnarray} n \geq N \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} N = 1+ \frac{(n-1)n}{2} C_{n}^2 \end{eqnarray}$ ..und weiter weiss ich dann doch nicht. das sah in der theorie ein wenig leichter aus.
28.11.2011, 20:41	Calahan	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Du die Abschätzung aus dem Hinweis gezeigt hast kannst Du aus dieser doch direkt folgern, dass $\begin{eqnarray} 0\leq c_n^2\leq\frac 2n. \end{eqnarray}$ Woraus dann weiter folgt, dass $\begin{eqnarray} c_n \end{eqnarray}$ Nullfolge ist und damit die zu bew. Aussage.

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