Konvergenzradius von Potenzreihen

28.11.2011, 19:41

Mathedummy89

Konvergenzradius von Potenzreihen

Meine Frage:
Hallo, könnt ihr mir helfen bei dieser Aufgabe:
Bestimmen Sie für $\begin{eqnarray*} z \in C \end{eqnarray*}$ den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=3}^\infty \left( \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k}\right) z^{n} \end{eqnarray*}$
Untersuchen Sie außerdem für welche z auf dem Rand des Konvergenzkreises die Potenzreihe konvergiert.

Meine Ideen:
Ich muss erstmal den Grenzwert berechnen aber wie ich das genau machen soll weiß ich nicht. :-(

28.11.2011, 19:49

Calahan

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RE: Konvergenzradius von Potenzreihen
Mit dem Quotientenkriterium z.B. sollte das glatt durchgehen.
Schreib einfach mal den zu untersuchenden Quotienten hin.

28.11.2011, 20:05

Mathedummy89

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RE: Konvergenzradius von Potenzreihen
Das hab ich mir auch gedacht aber mich irritiert ein bisschen das außerhalb das Summenzeichen bei 3 startet und bis unendlich geht und das Summenzeichen innen bei 1 startet und bis n geht.

28.11.2011, 20:11

HAL 9000

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Das ist eine ganz normale Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=3}^{\infty} a_nz^n \end{eqnarray*}$ , wo nur eben der Koeffizient durch $\begin{eqnarray*} a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ gegeben ist. Dieses $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist aber für festes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auch nur eine gewöhnlich reelle Zahl, also kein wirklicher Grund für Irritationen.

Was den Start bei $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ betrifft: Für die Frage Konvergenz/Divergenz ist es vollkommen egal, wo die Reihe startet - ob nun bei n=1, n=3 oder n=1000000.

28.11.2011, 20:12

Mathedummy89

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RE: Konvergenzradius von Potenzreihen
Die Form der Potenzreihe ist ja:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty ak (z-z_{0} )^{k} \end{eqnarray*}$

Was wäre den in diesem Fall ak? Denn das brauche ich ja um das Quotientenkriterium anzuwenden.

28.11.2011, 20:14

Calahan

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RE: Konvergenzradius von Potenzreihen

Zitat:

Original von Mathedummy89
Das hab ich mir auch gedacht aber mich irritiert ein bisschen das außerhalb das Summenzeichen bei 3 startet und bis unendlich geht und das Summenzeichen innen bei 1 startet und bis n geht.

Auch wenn die äußere Summe bei 4711 starten würde wäre das für das Konvergenzverhalten immer noch total egal.

Setze einfach

$\begin{eqnarray*} H_n:=\sum_{k=1}^n\frac 1k. \end{eqnarray*}$

und betrachte dann

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=3}^\infty H_n z^n \end{eqnarray*}$

dann sieht's doch direkt viel harmloser aus.

edit: Oha, da war ich offenbar deutlich zu langsam...

28.11.2011, 20:29

Mathedummy89

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RE: Konvergenzradius von Potenzreihen
Danke erstmal für eure hilfe.

Das heißt aber jetzt das ich

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

in die Formel: $\begin{eqnarray*} \frac{ak+1}{ak} \end{eqnarray*}$ einsetzten muss. Das ist komisch für mich denn wie soll ich denn dann das Summenzeichen kürzen?

Sorry für die dumme Frage aber ich hab das noch nie in der Schule gemacht. :-(

28.11.2011, 20:35

Calahan

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RE: Konvergenzradius von Potenzreihen
Wie ich eingangs erwähnte: Einfach mal hinschreiben...

$\begin{eqnarray*} 1\leq\frac{H_{n+1}}{H_n}=\frac{H_n+\frac 1{n+1}}{H_n}=1+\frac 1{(n+1)H_n}\leq 1+\frac 1n \end{eqnarray*}$

28.11.2011, 21:15

Mathedummy89

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RE: Konvergenzradius von Potenzreihen
Ok das ist ja ganz einfach. Ich denke glaube ich zu kompliziert.

$\begin{eqnarray*} 1 \leq \frac{\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} +1 }{\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} } = \frac{\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} +\frac{1}{n+1} }{\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} }= 1+ \frac{1}{(n+1)\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} }\leq 1+\frac{1}{n}<br /> \end{eqnarray*}$

Um jetzt die Randstellen zu berechnen muss ich doch das Ergebnis nur noch in die Ursprungsaufgabe einsetzen oder ist das anders bei komplexen Zahlen?

28.11.2011, 23:01

Mathedummy89

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RE: Konvergenzradius von Potenzreihen
Der Konvergenzradius wäre ja dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+\frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich ja die Randstellen berechnen. Ich glaube das geht so:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=3}^\infty |\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k}| * | z |^{n}=\sum\limits_{n=3}^\infty | \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} |*| \frac{1}{1+\frac{1}{n} } | = \sum\limits_{n=3}^\infty \left(\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} * \left(\frac{1}{1+\frac{1}{n} }\right)^{n} \right) = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} * \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^{n} } \end{eqnarray*}$

Ich kann aber dann nicht kürzen... Irgendetwas mach ich hier falsch unglücklich

29.11.2011, 08:42

Calahan

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RE: Konvergenzradius von Potenzreihen

Zitat:

Original von Mathedummy89
Der Konvergenzradius wäre ja dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+\frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$

Der Konvergenzradius soll also noch vom Summenindex $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängen? unglücklich

Ich würde sagen, der Konvergenzradius ist $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Mathedummy89
Jetzt muss ich ja die Randstellen berechnen. Ich glaube das geht so:

Wir wollen nicht glauben - wir wollen wissen! Zumindest in der Mathematik ist das so.

Deine Reihe konvergiert übrigens nicht einmal für $\begin{eqnarray*} z=-1 \end{eqnarray*}$ .

29.11.2011, 16:37

Mathedummy89

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RE: Konvergenzradius von Potenzreihen
Du hast natürlich recht. Der Konvergenzradius ist 1.
Wo ich mir aber im Moment unsicher bin ist:

Methode 1: Ganz einfach 1 und -1 in die Unrsprungsgleichung einsetze oder
Methode 2: Rechnen wie in meinem letzten Beitrag

Ich hab mal gelesen das man die zweite Methode bei komplexen Potenzreihen anwendet und die erste bei reellen Potenzreihen. Meine Aufgabe wäre ja eine komplexe Potenzreihe.

Also muss ich jetzt die zweite Methode anwenden oder hab ich da was falsch verstanden?

Vielen Dank für deine Hilfe und für deine Geduld!

30.11.2011, 19:20

breezy91

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habe die gleiche aufgabe.
bin jetzt auch beim letzten schritt, mit |z|=1

wenn ich dies einsetze erhalte ich Summe (n=3)^\infty H_{n}

kann ich dafür jetzt einfach Summe (n=3)^\infty 1/n als minorante nehmen?

weil zu zeigen dass die summe von ner summe konvergiert, wird grad net so leicht, grade wenn man die harmonische reihe betrachtet und die net abschätzen kann...?

kann ich ansonsten eine Partialsummenbetrachtung machen?

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