Bernoulli

28.11.2011, 21:58

Bernoulli123

Bernoulli

Hey,

ich habe hier eine Aufgabe vor mir, bei der mir schon die Aufgabenstellung Probleme bereitet.

Und zwar nehme man eine Folge von Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} (X_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ , welche der Bernoulliverteilung unterliegen. Das heißt:

$\begin{eqnarray*} P(X_n=1)=p \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X_n=0)=1-p \end{eqnarray*}$

Jetzt definiert man für alle $\begin{eqnarray*} \omega \in \Omega \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} T(\omega)=\inf \{n\in \mathbb N: X_n(\omega)=1 \} \end{eqnarray*}$

Das verstehe ich so. T trägt den Wert, für den die Reihe von Bernoulli Experimenten das erste mal 1 trägt.

Nun mein Problem.

Ich habe irgendwie Schwierigkeiten damit mir vorzustellen, dass die $\begin{eqnarray*} X_n(\omega) \end{eqnarray*}$ unterschiedliche Werte tragen können. Hat dafür jemand ein anschauliches Beispiel?

Denn wenn ich mir zum Beispiel als Bernoulliexperiment einen Münzwurf hernehme. Dann trägt $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ den Wert eins wenn eine Zahl fällt. Und Null bei Kopf.

Wenn ich das jetzt mehrmals hintereinander ausführe, dann ändert das doch nichts an der Tatsache, oder?

Ich hoffe ihr versteht, wo mein Problem liegt.

Viele Grüße

29.11.2011, 01:27

dinzeooo

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RE: Bernoulli

Zitat:

Original von Bernoulli123
Denn wenn ich mir zum Beispiel als Bernoulliexperiment einen Münzwurf hernehme. Dann trägt $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ den Wert eins wenn eine Zahl fällt. Und Null bei Kopf.

stelle dir einfach unendlich viele münzwürfe vor. dann wäre z.B. ein mögliches $\begin{eqnarray*} \omega_1 \in \Omega \end{eqnarray*}$ folgendes $\begin{eqnarray*} \omega_1=(0,0,0,0,1,0,1,1,\dots) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ entpricht dem n-ten wurf.

das heisst $\begin{eqnarray*} X_1(\omega_1)=0,~~X_2(\omega_1)=0,~~~X_5(\omega_1)=1 \end{eqnarray*}$ usw.

und

$\begin{eqnarray*} T(\omega_1)=5 \end{eqnarray*}$

bisschen unsauber alles formuliert aber ist es jetzt klarer?

29.11.2011, 20:35

Bernoulli123

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Noch nicht wirklich komplett, aber ich denke ich weiß, worauf du hinaus willst. Ich bin da von ausgegangen, dass w1={1} etc.

29.11.2011, 23:10

dinzeoo

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Zitat:

Original von Bernoulli123
Ich bin da von ausgegangen, dass w1={1} etc.

genau da liegt dein denkfehler vermutlich...

im endeffekt kann man es sich ganz simpel über einen münzwurf vorstellen.
1 steht für zahl, 0 steht für kopf. X_n steht für den n-ten wurf.
die zufallsvariable T gibt einfach nur an wann zum ersten mal zahl fällt. das wars eigentlich schon.

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