konvergenz reihe

28.11.2011, 22:28

xxmaxx

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konvergenz reihe

Hi,

folgende reihe hab ich gegeben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{n}{n^2+2} \end{eqnarray*}$

jetzt hab ich mir gedacht ich teil die summe in 2 teilsummen und wende das minorantenkriterium an.

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n^2+2} \ge .... \end{eqnarray*}$

da die harmonische reihe ja divergiert muss ich jetzt ja irgendwie auf 1/n kommen oder?
oder ist das ganze total falsch?

lg

28.11.2011, 22:30

Mulder

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RE: konvergenz reihe
Wenn da (-1)^n als Faktor steht, schreit das doch geradezu nach dem Leibnizkriterium.

28.11.2011, 22:33

xxmaxx

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ja schon. ich will es aber so lösen. oder lässt sich das mit dem minorantenkriterium nicht lösen?

28.11.2011, 22:40

natural

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Wie wäre es damit
$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n^2+2} =\frac{n}{n} \left(\frac{1}{n+ \frac{2}{n} } \right) \end{eqnarray*}$

Vergleiche nun jetzt mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

mfg
natural

28.11.2011, 22:47

xxmaxx

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irgendwie komm ich da nicht weiter. kann es sein dass mein ansatz falsch ist? weil für das minorantenkriterium muss ja gelten:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n^2+2} =\frac{n}{n} \left(\frac{1}{n+ \frac{2}{n} } \right) \ge \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

und das trifft hier ja nicht zu oder?

28.11.2011, 22:51

Mulder

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Edit: Ich lese gerade, dass du die ganze Zeit etwas vom Minorantenkriterium faselst... ich habe die ganze Zeit "Majorantenkriterium" gelesen (sorry). Was willst du denn bei einer offensichtlich konvergenten Reihe mit dem Minorantenkriterium anfangen???

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28.11.2011, 23:05

xxmaxx

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wieso offensichtlich. für mich nicht. wie erkenn ich das? ich dachte alle reihen der form

1/an+b lassen sich in die harmonische reihe überführen. deswegen minorantenkriterium und deswegen will ich irgendwie auf 1/n kommen. was aber offensichtlich falsch ist.

28.11.2011, 23:06

Mulder

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Zitat:

Original von xxmaxx
wieso offensichtlich. für mich nicht. wie erkenn ich das?

Das erkennst du am Leibnizkriterium. Aber das willst du aus mir unerfindlichen Gründen ja nicht benutzen.

28.11.2011, 23:10

xxmaxx

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ich will es deswegen nicht benutzen weil es mir nicht um das beispiel sondern um das verständnis geht.

wie zeige ich die die konvergenz wenn das -1 nicht davor stehen würde?

28.11.2011, 23:14

Mulder

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Zitat:

Original von xxmaxx
wie zeige ich die die konvergenz wenn das -1 nicht davor stehen würde?

Dann wäre die Reihe gar nicht mehr konvergent. Dieses (-1)^n hat nunmal einen maßgeblichen Einfluss auf das Konvergenzverhalten.

Stünde das (-1)^n da nicht, dann könnte man tatsächlich gegen die harmonische Reihe abschätzen, um Divergenz nachzuweisen.

28.11.2011, 23:16

xxmaxx

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ja auf das will ich hinaus. ich will halt auf 1/n abschätzen. nur ist in meinem fall

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n^2+2} \ge .... \end{eqnarray*}$

nicht größer als mein mir bekanntes 1/n welches divergiert. wie zeige ich hier die divergenz.

28.11.2011, 23:19

Mulder

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RE: konvergenz reihe
Also, wir verwerfen nun

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{n}{n^2+2} \end{eqnarray*}$

und befassen uns stattdessen mit

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n}{n^2+2} \end{eqnarray*}$

ja?

Dann ist eine mögliche Abschätzung doch denkbar einfach. Bedenke, dass du konstante Faktoren vor die Summe ziehen darfst. Und dann sollte sich doch leicht was passendes finden. Du kannst dabei ruhig brutal vorgehen. Der Ansatz von natural ist ein erster Schritt, führe den weiter.

28.11.2011, 23:29

xxmaxx

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ja genau das -1 verwerfen wir :-)

also der einzige konstante faktor ist hier doch die 2

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n^2+2} =\frac{n}{n} \left(\frac{1}{n+ \frac{2}{n} } \right) \end{eqnarray*}$

und wie ich die vor die summe bekomme seh ich nicht.

28.11.2011, 23:42

Mulder

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Es geht doch darum, ABZUSCHÄTZEN! Also ist da auch mal ein wenig Kreativität gefragt. Du kannst den Term doch verändern, wie du willst. Hauptsache, du machst ihn kleiner, erhälst aber immer noch etwas, das als divergent bekannt ist (harmonische Reihe in unserem Fall). Das ist doch, wenn ich dich richtig verstanden habe, genau das, was du üben willst.

Um es nochmal zu präzisieren: Wenn

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

divergiert, dann divergiert auch

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{an} = a \cdot \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

wobei a eine beliebige Konstante ist.

Und einen Faktor 2 sehe ich da bisher nirgends. Was meinst du damit? Wenn überhaupt, sehe ich im Nenner eine 2 als Summand.

28.11.2011, 23:43

xxmaxx

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hmm wäre das richtig:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n^2+2} \ge \frac{n}{n^2+n^2} \ge \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$

28.11.2011, 23:47

Mulder

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Zitat:

Original von xxmaxx
hmm wäre das richtig:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n^2+2} \ge \frac{n}{n^2+n^2} \ge \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$

Ja, zum Beispiel.

Allerdings gilt diese Ungleichung nicht für n=1. Schlimm ist das nicht, denn endlich viele Summanden können am Konvergenzverhalten sowieso nichts ändern. Aber das sollte man dann dazu schreiben, damit die Begründung passt.

Und um zu verdeutlichen, was ich weiter oben mit "brutal" meinte:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n^2+2} \geq \frac{n}{1000 \, n^2} \end{eqnarray*}$

Ist jetzt nur ein etwas übertriebenes Beispiel, um es zu verdeutlichen. Denn so könnte man es ja auch machen. Ganz so rabiat muss man aber natürlich nicht unbedingt sein. Aber es es wäre okay. Und dann hast du auch das Problem bei n=1 nicht.

28.11.2011, 23:51

xxmaxx

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ok jetzt hab ichs verstanden. ich dachte nur ich muss zwanghaft auf 1/n kommen und 1/2n wäre falsch. aber wie du ja geschrieben hast kann a eine beliebige konstante sein.

vielen dank auch für die hilfe smile

smile

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