Konvergenz einer Folge (nur mit Def.) beweisen

29.11.2011, 00:31	Kiwiatmb	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Folge (nur mit Def.) beweisen Hallo, folgende Aufgabe: (Beweis nur mit Definition, ohne Konvergenzsätze o.ä. !) Untersuchung auf Konvergenz (+ ggf. Angabe vom Grenzwert) von $\begin{eqnarray} a_n = \frac { 2n^{2} + 1 } {6n^{2}+5n+3} \end{eqnarray}$ . Konvergenz ist bei uns so definiert: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon>0 ~\exists N\in\mathbb N ~~\forall n\geq N : \|a_n-a\| < \epsilon \end{eqnarray}$ Der Grenzwert ist wohl offensichtlich $\begin{eqnarray} \frac {1} {3} \end{eqnarray}$ . Ich kann das auf $\begin{eqnarray} \frac {1} {3} - \frac { 2n^{2} + 1 } {6n^{2}+5n+3} < \frac {1} {n+1} \end{eqnarray}$ zurückführen, wobei in der Vorlesung schon bewiesen wurde, dass letzteres gegen 0 konvergiert, damit muss $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ gegen 1/3 konvergieren. So. Jetzt hätte ich aber gerne eine allgemeinere Lösung, die nicht auf dieses Beispiel angewiesen ist. Mit Epsilon und allem drum und dran. Soweit ich das verstanden habe, gibt es im wesentlichen 2 Möglichkeiten, diese zu finden: a) $\begin{eqnarray} \left\| \frac { 2n^{2} + 1 } {6n^{2}+5n+3} - \frac {1} {3} \right\| < \epsilon \end{eqnarray}$ nach n auflösen und dann entsprechend weiterbasteln. b) $\begin{eqnarray} \left\| \frac { 2n^{2} + 1 } {6n^{2}+5n+3} - \frac {1} {3} \right\| \end{eqnarray}$ immer weiter nach oben abschätzen und dann $\begin{eqnarray} < \epsilon \end{eqnarray}$ zeigen. Mit a) komme ich irgendwie auf keinen grünen Zweig. b) erscheint mir sinnvoller. Versuch mit Dreiecksungleichung: $\begin{eqnarray} \left\| \frac { 2n^{2} + 1 } {6n^{2}+5n+3} - \frac {1} {3} \right\| \leq \left\| \frac { 2n^{2} + 1 } {6n^{2}+5n+3} \right\| + \left\| - \frac {1} {3} \right\| = \frac { 2n^{2} + 1 } {6n^{2}+5n+3} + \frac {1} {3} < \epsilon \end{eqnarray}$ Das ist jetzt aber blöd, weil das ja gegen 2/3 konvergiert. Mir fällt aber irgendwie keine bessere Abschätzung ein. Gibt's ein System oder einen nachvollziehbaren Gedankengang, der mich zu einer bringt? Vielen Dank schonmal ! Grüße, ~
29.11.2011, 00:47	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest schreiben $\begin{eqnarray} \frac{2n^2+1}{6n^2+5n+3}=\frac{1}{3}\cdot \frac{6n^2+3}{6n^2+5n+3}=\frac{1}{3}\cdot\left(1-\frac{5n}{6n^2+5n+3}\right) \end{eqnarray}$ Das mit dem Epsilon und so überlasse ich dir dann mal.
29.11.2011, 11:09	Kiwiatmb	Auf diesen Beitrag antworten »
Bleibt zu zeigen, (Beh.: ) dass $\begin{eqnarray} \frac{5n}{6n^2+5n+3} \end{eqnarray}$ gegen 0 konvergiert. Darf ich $\begin{eqnarray} \frac{5n}{6n^2+5n+3} = \frac {n} {n} \cdot \left( \frac{5}{6n+5+\frac{3}{n}} \right) \end{eqnarray}$ ? => 6n geht offensichtlich gegen oo und 3/n gegen 0. => Beh.=> $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ konvergiert gegen 1/3. ? Schade ist natürlich, dass da wieder nicht mein heißgehasstes $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ drin vorkommt. Macht das hier schlicht keinen Sinn oder wird $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ einfach gemobbt? Hätte das schon gern mal gesehen, wie man das damit beweist. Danke natürlich für deine Antwort !
29.11.2011, 16:13	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Beweis ist richtig. Alternativ (noch 'puristischer' wenn du alles ganz elementar machen willst) hätte man auch $\begin{eqnarray} \frac{5n}{6n^2+5n+3}\leq \frac{5n}{6n^2}=\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ abschätzen können. Dann ist also insgesamt $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}-\frac{2n^2+1}{6n^2+5n+3}\leq \frac{5}{6}\cdot\frac{1}{n}<\varepsilon \end{eqnarray}$ für alle n mit $\begin{eqnarray} n>\frac{5}{6\varepsilon} \end{eqnarray}$ Du hättest auch bei deinem Beweis sagen können, dass für große n gilt $\begin{eqnarray} 6n+5+\frac{3}{n}>n>\frac{\varepsilon}{5} \end{eqnarray}$ usw.
02.12.2011, 00:17	Kiwiatmb	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön, hat mir sehr geholfen. Nach dieser "ganz elementaren" Lösung hatte ich gesucht. (Zwar nicht die abgegeben, aber einfach interessehalber. )

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