Beweis kontrahierende Abbildung

29.11.2011, 02:05

DudiPupan

Beweis kontrahierende Abbildung

Ich arbeite gerade an folgender Aufgabe und komme nicht weiter:

Seien $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ ein vollständiger metrischer Raum und $\begin{eqnarray*} T:X->X \end{eqnarray*}$ eine Abbildung. Für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ definieren wir die n-te Iterierte $\begin{eqnarray*} T^{(n)} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} T^{(1)} (x) := T(x), T^{(n+1)} (x) := T(T^{(n)}(x)), x\in X \end{eqnarray*}$

(i) Für ein $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sei die Abbildung $\begin{eqnarray*} T^{(m)} \end{eqnarray*}$ kontrahierend. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ genau einen Fixpunkt besitzt.

(ii) Wenn für ein $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ die Abbildung $\begin{eqnarray*} T^{(m)} \end{eqnarray*}$ kontrahierend ist, muss dann bereits die Abbildung T kontrahierend sein?

Meine Idee:

Zu (i) habe ich folgendes:
Sei $\begin{eqnarray*} T^{(m)} \end{eqnarray*}$ kontrahierend, so besitzt $\begin{eqnarray*} T^{(m)} \end{eqnarray*}$ laut banach'schem Fixpunktsatz genau einen Fixpunkt $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} => T^{(m+1)}(x_{0}):=T(T^{(m)}(x_{0}))=T(x_{0}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => T(x_{0}) \end{eqnarray*}$ ist scheinbar ebenfalls Fixpunkt von $\begin{eqnarray*} T^{(m)} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} T^{(m)} \end{eqnarray*}$ aber nur einen Fixpunkt besitzt folgt: $\begin{eqnarray*} T(x_{0})=x_{0} \end{eqnarray*}$
Somit ist jeder Fixpunkt von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ auch Fixpunkt von $\begin{eqnarray*} T^{(m)} \end{eqnarray*}$ und da $\begin{eqnarray*} T^{(m)} \end{eqnarray*}$ nur einen Fixpunkt besitzt kann $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ nicht mehr Fixpunkte besitzen.

Stimmt das soweit?

Und bei der (ii) fehlt mir leider völlig der Ansatz.

Vielen Dank

29.11.2011, 12:39

gonnabphd

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Hi,

(i) ist o.k. Etwas deutlicher könntest du allerdings $\begin{eqnarray*} T^{(m)}(T(x_0)) = T(T^{(m)}(x_0)) = T(x_0) \end{eqnarray*}$ schreiben, damit man gleich sieht, dass du darauf hinaus willst, dass $\begin{eqnarray*} T(x_0) \end{eqnarray*}$ Fixpunkt von $\begin{eqnarray*} T^{(m)} \end{eqnarray*}$ ist.

Für (ii) könntest du mal $\begin{eqnarray*} T: \{0, 1,\ldots, n\} \to \{0, 1, \ldots, n\} \end{eqnarray*}$ , definiert durch $\begin{eqnarray*} T(i) = \begin{cases} 0 & i = 0 \\ i-1 & i > 0\end{cases} \end{eqnarray*}$ , betrachten.

Gruss

29.11.2011, 13:13

DudiPupan

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Okay, also bei (i) könnte ich es noch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} T^{m}(T(x_{0})=T^{(m+1)}(x_{0})=T(T^{(m)}(x_{0}))=T(x_{0}) \end{eqnarray*}$

Ist das so besser?

Und zu (ii), kann ich das dann in etwa so zeigen?

$\begin{eqnarray*} T: \left\{ 0,1,...,n \right\} \to \left\{ 0,1,...,n \right\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} T(i):= \begin{cases} 0 & i=0 \\ i-1 & i>0 \end{cases} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => T^{m}(T(i)=T^{(m+1)}(i)=T(T^{(m)}(i))=T(i) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => T^{m}(T(0))t^{(m)}(0)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T^{(m)}(T(i-1))=T^{(m)}(i-1)=i-1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => T^{(m)}(i)= \begin{cases} 0 & T(i)=0 \\ i-1 & T(i)=i-1 \end{cases} \end{eqnarray*}$
Somit muss $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ kontrahierend sein, damit $\begin{eqnarray*} T^{(m)} \end{eqnarray*}$ kontrahiert

29.11.2011, 16:05

gonnabphd

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Ich verstehe das, was du zu (ii) geschireben hast, nicht. Könntest du nicht vielleicht Worte benutzen, anstelle von irgendwelchen unerklärten Implikations-Pfeilen?
Bedenke: Wenn du einen Beweis aufschreibst, dann tust du das für den Leser. Von daher solltest du deine Gedankengänge schon erklären.

Edit (30. Nov. 2011): Ich hatte mich selbst verwirrt. Das folgende kannst du vergessen. Mein Tipp und Beispiel war schon in Ordnung. Allerdings könnte man auch das unten stehende in ein Beispiel verwandeln.
Allerdings muss ich mich selber auch rügen: Ich sehe auch gerade, dass mein Tipp von vorne herein nicht viel bringt...
Meine Idee wäre gewesen, dass "T alles auf einen Haufen abbildet". Die Abbildung die ich dir dann hingeschrieben habe, macht das, aber sie hat den Fixpunkt 0.

Die Frage ist ja: Was könnte beim Abbilden passieren, damit T keine Kontraktion ist, aber T^{(m)} eine ist für ein m>1?

Die Idee alles auf einen Haufen abzubilden war aber gar nicht so schlecht. Du könntest dir damit ein Beispiel $\begin{eqnarray*} T:\mathbb R^2 \to \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ausdenken.

Tipp: Bilde alles nach IR ab, so dass die Einschränkung von T auf IR nach IR eine Kontraktion ist, aber so dass sie nicht auf ganz IR^2 eine Kontraktion ist.

29.11.2011, 21:43

Gesagt getan

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Es gibt ein $\begin{eqnarray*} M\in[0,1) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d\left(T(T(x)),\,T(x)\right) \le M\cdot d(T(x),\,x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$

Wir definieren $\begin{eqnarray*} f: X\rightarrow \mathbb R: x\mapsto \frac{d\left(T(T(x)),\,T(x)\right)}{d(T(x),\,x)} \end{eqnarray*}$ . Weil $\begin{eqnarray*} \forall x\in X: T(x)\ne x \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \forall x\in X: d(T(x),x)\ne 0 \end{eqnarray*}$ und damit f eine wohldefinierte Abbildung. Weil $\begin{eqnarray*} d(x,y)\ge 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \forall x\in X: d(T(T(x)),\,T(x)) < d(T(x),\,x) \Leftrightarrow \frac{d\left(T(T(x)),\,T(x)\right)}{d(T(x),\,x)} < 1 \end{eqnarray*}$ ist das Bild von f eine Teilmenge von halboffenen Intervall [0,1) (Es ist $\begin{eqnarray*} 0\le f(x) < 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ ).

Es ist f als Verknüpfung stetiger Abbildungen wieder eine stetige Abbildung. Da der Definitionsbereich von f ein kompakter Raum ist, ist auch das Bild $\begin{eqnarray*} f(X)\subset [0,1) \end{eqnarray*}$ von f kompakt, wobei f sein Maximum annimmt. Sei $\begin{eqnarray*} M\in[0,1) \end{eqnarray*}$ das Maximum von f. Es ist also für alle $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f(x)&\le& M\\[3px] \Leftrightarrow\ \dfrac{d\left(T(T(x)),\,T(x)\right)}{d(T(x),\,x)} &\le& M \\[3px] \Leftrightarrow d\left(T(T(x)),\,T(x)\right) &\le& M\cdot d(T(x),\,x) \end{eqnarray*}$

30.11.2011, 14:54

hallali

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RE: Beweis kontrahierende Abbildung
Wieso so umständlich?

$\begin{eqnarray*} T^{(m)} \end{eqnarray*}$ ist kontrahierend. Somit gilt:

Es gibt ein z $\begin{eqnarray*} \in [0,1) \end{eqnarray*}$ für das Gilt:
$\begin{eqnarray*} \forall x,y \in X : d(T^{(m)}(x), T^{(m)}(y)) \le z * d(T^{(m-1)}(x), T^{(m-1)}(y)) \end{eqnarray*}$

Da aber gilt $\begin{eqnarray*} T^{(m)}(x) = T(T^{(m-1)}(x)) \end{eqnarray*}$

gilt auch:

$\begin{eqnarray*} \forall x,y \in X : d(T(T^{(m-1)}(x)), T(T^{(m-1)}(y))) \le z * d(T^{(m-1)}(x), T^{(m-1)}(y)) \end{eqnarray*}$

Was dann bedeutet: Wenn $\begin{eqnarray*} T^{(m)} \end{eqnarray*}$ kontrahierend ist ist es auf jeden Fall auch T.

30.11.2011, 19:50

gonnabphd

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Nein. Das ist falsch. Siehe das Beispiel, welches ich schon oben als Tipp gegeben hatte.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} T: \{0, 1,\ldots, n\} \to \{0, 1, \ldots, n\} \end{eqnarray*}$ , definiert durch $\begin{eqnarray*} T(i) = \begin{cases} 0 & i = 0 \\ i-1 & i > 0\end{cases} \end{eqnarray*}$

wobei {0,1, ..., n} mit der diskreten Metrik versehen sei und n>1. Es ist offenbar $\begin{eqnarray*} T^{(m)}\equiv 0 \end{eqnarray*}$ für m>n und somit

$\begin{eqnarray*} 0 = d(T^{(m)}(x),T^{(m)}(y)) \le \frac12 d(x,y )\qquad \forall x,y \end{eqnarray*}$

für solche m. Insbesondere ist also $\begin{eqnarray*} T^{(m)} \end{eqnarray*}$ eine Kontraktion. Allerdings ist $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ keine Kontraktion, da $\begin{eqnarray*} d(T(0),T(n)) = d(0, n-1)= 1 = d(0,n) \end{eqnarray*}$ .

Wink

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