Urnenmodell mit Gegenereignis

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Schokoladehase1337 Auf diesen Beitrag antworten »
Urnenmodell mit Gegenereignis
Hallo,

hevor ich mein Problem schildere, hier die Aufgabe.



Das 8-köpige Organisationkomitee einer Abiturklasse kümmert zur Zeit um die Gestaltung der T-Shirts. Auf
Hinweis einer Mutter blättern diese Schüler getrennt voneinander in einem Katalog, in dem 30 Modelle
abgebildet wurden. Jedes Organisationsmitglied wählt davon - unabhängig von den anderen - seinen Favoriten
aus.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der mindestens ein T-Shirt mindestens zweimal gewählt wird.
b) Der Mutter gefällt besonders das T-Shirt auf Seite 4.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit der mindestens ein Schüler ihre Meinung teilt?
Schokoladehase1337 Auf diesen Beitrag antworten »

Was sagt mir das Gegenereignis bei a) Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Tshirt nur einmal oder keinmal vorkommt?

Aber wie komme ich darauf? Ich weiß, man muss um die Wahrscheinlichkeit auszurechnen, alle in Frage kommende Ereignisse durch alle mögliche Ereignisse teilen. (LaPlace-Versuch)

Was sagt mir aber die Zahl im Zähler? Woher nimmt er diese? Meine Überlegung....da jedes Tshirt nur einmal vorkommen darf,also nicht zurückgelegt wird....ist das also 30x29x28x27x26x25x24 möglichkeiten... also 30! / (30-8)! * 8! .....also OHNE BEDEUTSAME REIHENFOLGE.


Die Lösung jedoch beinhaltet im Zähler die Formel n! / (n-k)! ...also mit bedeutsame Reihenfolge.


Wieso? Ich hasse es... ich hasse den Begriff Reihenfolge. Ich kann damit nichts anfangen. Was ist mit Reihenfolge gemeint? Wieso spielt es hier eine Rolle, in welche Reihenfolge die Tshirts gewählt werden. Wenn Schüler 1 30 Möglichkeiten hat, dann hat Schüler 2 nur noch 29 (weil ein Tshirt bereits gewählt wurde)......was interessiert mich dann die Reihenfolge?


Müsste dann nicht n über k / 30^8 stehen als Gegenereignis?



Und ist die Lösung zu b) so banal, dass ich umsonst den Kopf zerbrochen habe? Das Gegenerignis soll doch die Wahrscheinlichkeit aussagen, mit der man NICHT das selbe Tshirt wählt wie die Frau. Also hat er einfach ein Tshirt mal eben entfernt und schreibt 29^8 hin, weil die Leute ja nur noch 29 Möglichkeiten haben zu wählen???

Bin über Denkanstöße dankbar


Edit: kann es sein, dass die Erklärung bei b zu aufgabe a gehört?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Also zu a):

betrachten wir mal das Gegenereignis, also dass alle Schüler verschiedene T-Shirts wählen:
Der 1. Schüler kann wählen was er will.
Der 2. Schüler hat nun die Auswahl aus 29 von 30 T-Shirts, wählt also mit einer Wahrscheinlichkeit von 29/30 ein anderes T-Shirt
...
Der 8. Schüler hat schlussendlich die Auswahl aus 23 von 30 T-Shirts, wählt also mit einer Wahrscheinlichkeit von 23/30 ein anderes T-Shirt

Multipliziert man dies miteinander, so kommt man genau auf die angegebene Formel.
Zeichne dir dazu ein Baumdiagramm und mach dir das daran klar.


Zu b):
Zitat:

Und ist die Lösung zu b) so banal, dass ich umsonst den Kopf zerbrochen habe? Das Gegenerignis soll doch die Wahrscheinlichkeit aussagen, mit der man NICHT das selbe Tshirt wählt wie die Frau. Also hat er einfach ein Tshirt mal eben entfernt und schreibt 29^8 hin, weil die Leute ja nur noch 29 Möglichkeiten haben zu wählen???
Ja, und so kommt man auch auf die gegebene Formel

PS:
Zitat:
Edit: kann es sein, dass die Erklärung bei b zu aufgabe a gehört?
Ja smile
Schokoladehase1337 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank.


Kann mir jemand das mit der Reihenfolge erklären? Wieso ist die Reihenfolge hier wichtig?

Ich kann nicht unterscheiden ob Reihenfolge wichtig ist oder nicht.


Z.B. Lotto , 6 von 49

Wenn die Aufgabe lautet, berechnen sie die Wahrscheinlichkeit, wie viele Kombinationen der 6 Zaheln es gibt, dann ist die Reihenfolge der gezogenen Zahl doch wichtig?

Wieso lese ich im Internet, dass bei der Beispielaufgabe 6 von 49 die Reihenfolge nicht wichtig ist? (Im Internert steht pauschal....beim Lotto reihenfolge unwichtig, bei einer telefonnummer wichtig)
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe dein Problem nicht:
Zitat:
Was sagt mir aber die Zahl im Zähler? Woher nimmt er diese? Meine Überlegung....da jedes Tshirt nur einmal vorkommen darf,also nicht zurückgelegt wird....ist das also 30x29x28x27x26x25x24x23 möglichkeiten..
Genau das steht doch im Zähler! (abgesehen davon, dass du den Faktor "x23" vergessen hast)

Das ist genau das selbe wie
Zitat:
Die Lösung jedoch beinhaltet im Zähler die Formel n! / (n-k)! ...also mit bedeutsame Reihenfolge.



In der Aufgabe wird in diesem Sinne also die Reihenfolge berücksichtigt (natürlich ohne Zurücklegen) - Grund ist der, dass sonst die Ereignisse nicht gleichwahrscheinlich wären: Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Schüler ein blaues Shirt wählen, ist geringer, als das einer ein blaues und der andere ein weißes wählt).
Schokoladehase1337 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Math1986


In der Aufgabe wird in diesem Sinne also die Reihenfolge berücksichtigt (natürlich ohne Zurücklegen) - Grund ist der, dass sonst die Ereignisse nicht gleichwahrscheinlich wären: Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Schüler ein blaues Shirt wählen, ist geringer, als das einer ein blaues und der andere ein weißes wählt).



Vielen Dank bisher !

Jedoch verstehe ich deine Aussage noch nicht richtig. Ich verstehe, dass die Wahrscheinlichkeit geringer wird, wenn zwei Schüler ein blaues Shirt wählen würden, doch wäre das der Fall, wenn die Reihenfolge nicht wichtig wäre?

Also man sagt ja, Ohne Reihenfolge /Ohne Zurücklegen ist "Ziehen in einem Griff"...das heißt, ich ziehe für alle 8 Schüler einmal und völlig zufällig 8 Tshirts. Darunter können aber doch nicht die selben Tshirts sein, da alle 30 Tshirts in der Urne eine andere Nummer haben. Also kann man doch gar nicht 2x das selbe Tshirt ziehen?


( Wenn wir davon reden, dass die Reihenfolge wichtig ist, dann ist doch damit gemeint, dass es für das Ergebnis wichtig ist,in welcher Reihenfolge die Schüler ziehen. Also erst 1,2,3,4,5,6,7,8 ???)

Arhghg.... ich glaub ich bin aufm Holzweg.
 
 
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Schokoladehase1337
Jedoch verstehe ich deine Aussage noch nicht richtig. Ich verstehe, dass die Wahrscheinlichkeit geringer wird, wenn zwei Schüler ein blaues Shirt wählen würden, doch wäre das der Fall, wenn die Reihenfolge nicht wichtig wäre?

Betrachten wir mal beide Fälle:

Fall1: Reihenfolge ist egal
Dann haben wir die möglichen Ereignisse
Diese Ereignisse sind gleichwahrscheinlich

Fall 2:
Dann haben wir die möglichen Ereignisse
hier sind die Ereignisse also nicht gleichwahrscheinlich.

Die Ereignisse müssen aber gleichwahrscheinlich sein, damit du hier die Wahrscheinlichkeit durch Abzählen berechnen kannst, anderenfalls wäre es ja kein LaPlace-Experiment.

Zitat:
Original von Schokoladehase1337
Also man sagt ja, Ohne Reihenfolge /Ohne Zurücklegen ist "Ziehen in einem Griff"...das heißt, ich ziehe für alle 8 Schüler einmal und völlig zufällig 8 Tshirts. Darunter können aber doch nicht die selben Tshirts sein, da alle 30 Tshirts in der Urne eine andere Nummer haben.
Ja, soweit richtig, daher auch "Ziehen in einem Griff", wenn dir das mehr sagt.
Zitat:
Original von Schokoladehase1337
Also kann man doch gar nicht 2x das selbe Tshirt ziehen?
Richtig! Wir berechnen ja im Zähler nur die günstigen Ereignisse, das sind ja genau die, bei denen man das selbe T-Shirt eben nicht zweimal Ziehen kann! Genau dass ist doch der Gedanke dahinter!
Orlando Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Schokoladenhase (welch ein süsser Nick smile ),
Zitat:
Original von Schokoladehase1337
Wieso lese ich im Internet, dass bei der Beispielaufgabe 6 von 49 die Reihenfolge nicht wichtig ist? (Im Internert steht pauschal....beim Lotto reihenfolge unwichtig, bei einer telefonnummer wichtig)


naja, beim Lotot ist es halt ziemlich egal, ob erst die 9 und dann die 5 gezogen wird oder umgekehrt. Nachdem gezogen wurde wird ja eh sortiert. Deshalb: Ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

Wählst du aber eine Telefonnummer, dann - zumindest ist das meine Lebenserfahrung - kommt es schon drauf an, ob du erst die 9 und dann die 5 wählst oder umgekehrt. Daher mit Berücksichtigung der Reihenfolge.

Bei den T-Shirts ist es nun ziemlich egal, in welcher Reihenfolge sich die Jungs entscheiden. Entscheidend ist (nur), was hinten rauskommt, ob also zwei das gleiche Shirt ausgesucht haben.

Gruß, Orlando
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