existieren die grenzwerte

29.11.2011, 09:11

chrlan

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existieren die grenzwerte

Meine Frage:
Entscheiden Sie, ob die Grenzwerte der Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\ge 1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (b_n)_{n\ge 1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (c_n)_{n\ge 1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (d_n)_{n\ge 1} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} a_n = \sqrt[2 n]{n},\qquad b_n=\frac{\log n}{\sqrt n},\qquad c_n=\frac{(\log n)^{10}}{\sqrt n},\qquad d_n={\log(1+e^n)}{n} \end{eqnarray*}$

existieren. Berechne sie gegebenenfalls.

Meine Ideen:
hab die erste umgeformt zu:

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{n}{\sqrt[2 n]{n^{2 n-1}}} \end{eqnarray*}$

hab dann folgendes abgeschätzt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[2 n]{n^{2 n-1}}\underset{n\rightarrow \infty}{\rightarrow} n \end{eqnarray*}$

dann ergibt sich als grenzwert ja 1.
kann man das so machen?
bei den anderen hab ich noch so meine probleme. ein paar ansätze wären echt schön.

29.11.2011, 10:59

Calahan

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RE: existieren die grenzwerte

Zitat:

Original von chrlan
Meine Ideen:
hab die erste umgeformt zu:

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{n}{\sqrt[2 n]{n^{2 n-1}}} \end{eqnarray*}$

hab dann folgendes abgeschätzt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[2 n]{n^{2 n-1}}\underset{n\rightarrow \infty}{\rightarrow} n \end{eqnarray*}$

dann ergibt sich als grenzwert ja 1.
kann man das so machen?
bei den anderen hab ich noch so meine probleme. ein paar ansätze wären echt schön.

Der Grenzwert stimmt zwar aber das ist kein Beweis. Bestenfalls hast Du die Behauptung paraphrasiert.

Du kannst zum Beweis eigentlich genauso vorgehen wie bei $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ .

Die zweite und dritte Folge konvergieren jeweils gegen 0 weil der Logarithmus schwächer wächst als jede Potenz.
Formal:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n^\alpha}=0\text{ für alle }\alpha > 0. \end{eqnarray*}$

Das folgt aus der Tatsache, dass die Exponentialfunktion stärker wächst als jede Potenz.

Die Divergenz der vierten Folge sollte klar sein.

29.11.2011, 11:01

chrlan

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Das ist mir auch alles klar.
aber wie beweist man das?
die grenzwerte kann man an sich einfach so ablesen.
ich muss es aber auch zeigen können

29.11.2011, 17:26

chrlan

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das der logarithmus nicht so schnell wächst ist mir klar. aber wie kann ich das zeigen, bzw beweisen?

30.11.2011, 12:52

Thobi

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wieso divergiert die letzte Folge? das ist mir leider noch nicht so aufgegangen unglücklich

unglücklich

01.12.2011, 12:21

Thobi

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kann mir keiner eine Antwort geben? unglücklich

unglücklich

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01.12.2011, 14:43

Qwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Die letzte Folge divergiert nicht, sondern sie geht gegen 1.
Warum genau das so ist muss ich mir selbst noch deutlich machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

01.12.2011, 14:49

Thobi

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aber Calahan hat doch geschrieben, dass sie divergiert, also habe ich die ganze zeit versucht die divergenz zu zeigen unglücklich

unglücklich

kannst du mir dann deinenAnsatz geben wenn du weiter bist? wenn ich bis dahin was habe, schreibe ich es auch hier hinein smile

smile

01.12.2011, 14:50

Mulder

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Zitat:

Original von Qwe
Die letzte Folge divergiert nicht, sondern sie geht gegen 1.

Das tut sie mit Sicherheit nicht.

Diese Folge divergiert, wie Calahan schon sagte. Oder sollte es eigentlich

$\begin{eqnarray*} d_n = \frac{\ln(1+e^n)}{n} \end{eqnarray*}$

heißen, Thobi?

01.12.2011, 14:53

Thobi

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ja das stimmt, die dn in dem ersten Post ist falsch, die die du gerade hingeschrieben hast ist richtig. Also log(1+e^n)/n sorry kann mit diesem Formel-ding noch nicht umgehen.
Was stimmt denn nun? ich bin grad total verwirrt o.O also divergiert sie doch?

01.12.2011, 14:56

Qwe

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@ mulder
Ja sry hab nicht gesehen, dass die Folge im ersten post falsch steht, es soll so aussehen wie du es geschrieben hast.
Weiß nun auch wie man auf die 1 kommt.
mfg

01.12.2011, 14:57

Thobi

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wie kommt man denn auf die 1 ? unglücklich

unglücklich

Klausur

01.12.2011, 15:03

Qwe

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Kann hier leider keinen Link Posten, aber schau mal auf Wikipedia nach Logarithmen und guck wie sich Logarithmen der Form log(x+y) umformen lassen.
Der Rest ergibt sich daraus Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

mfg

01.12.2011, 15:15

Thobi

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so hab mir das grad angeschaut.

aus log(x+y) folgt log x + log(1+y/x) also ist das hier (log1 + log(e^n/1))/n ist doch richtig oder? und wie kommt man daraus jetzt auf eine 1? ich glaub ich hab grad nen Blatt vorm Kopf -.-

01.12.2011, 15:25

Qwe

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Ja genau, du hast also da stehen:
$\begin{eqnarray*} \frac{\log(1)+ \log(e^{n})} {n} \end{eqnarray*}$
Jetzt überlege dir mal was $\begin{eqnarray*} \log(1) \end{eqnarray*}$ ergibt, und wie man \log(e^{n}) noch ein bisschen weiter umformen kann.

01.12.2011, 15:28

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist also

$\begin{eqnarray*} \ln(1+e^x)=\ln(e^x) \end{eqnarray*}$

? Sieht doch reichlich sinnlos aus. Ich zitiere Thobi:

Zitat:

log(x+y) folgt log x + log(1+y/x)

Ihr habt das ja nun beide falsch verwendet.

01.12.2011, 15:31

Thobi

Auf diesen Beitrag antworten »

Also log1 = 0 und log e^n kann ich umformen zu n * log e, also hab ich dann da stehen (n*log e) / n oder ist das falsch?

01.12.2011, 19:36

Qwe

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Ja natürlich is das Mist was ich da geschrieben habe. Sorry unglücklich

unglücklich

. Das passiert wenn man mehrere Sachen gleichzeitig macht und dann nicht aufpasst bzw. nicht nachdenkt.
Also:
$\begin{eqnarray*} \frac{\log(1+e^{n})}{n} = \frac{\log(e^{n})+\log(1+\frac{1}{e^{n}})} {n} \end{eqnarray*}$
So sollte es aussehen denke ich. Ich entschuldige mich nochmal für die unaufmerksamkeit.

mfg

01.12.2011, 19:50

Mulder

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Alternativ liefert die strenge Monotonie von ln:

$\begin{eqnarray*} \frac{\ln(e^n)}{n} < \frac{\ln(1+e^n)}{n} < \frac{\ln(2e^n)}{n} \end{eqnarray*}$

Das Sandwichlemma liefert dann auch das Gewünschte.

01.12.2011, 20:15

Thobi

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also konvergiert das gegen 0? hab ich das richitg?

01.12.2011, 20:37

Mulder

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Zitat:

Original von Thobi
also konvergiert das gegen 0? hab ich das richitg?

Ich würde sagen, denk nochmal über diese Aussage nach. Ich würde wetten, dass du recht schnell auch ohne Hilfe erkennst, dass das nicht sein kann.

Zumal Qwe auf Seite 1 dieses Threads bereits den richtigen Grenzwert von $\begin{eqnarray*} d_n \end{eqnarray*}$ genannt hatte.

01.12.2011, 21:08

Thobi

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achso, also wenn ich das mit deiner Monotonie mache und dann das Sandwichkriterium anwende bekomme ich 1 herraus. das ist richtig ja?

und noch ne frage, in der Aufgabe steht log und du schreibst in deiner Monotonie ln, darf ich das einfach so nehmen?

01.12.2011, 21:10

Mulder

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1 stimmt, ja.

Zitat:

Original von Thobi
und noch ne frage, in der Aufgabe steht log und du schreibst in deiner Monotonie ln, darf ich das einfach so nehmen?

Naja, ich schreibe für den natürlichen Logarithmus immer "ln", andere nennen das Teil log. Wenn ihr ihn in eurer Vorlesung auch immer mit log bezeichnet, dann bleib ruhig dabei, dann ersetz halt das ln überall durch log. Aber wir meinen dasselbe.

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