Basen von Vektorräumen

29.11.2011, 09:56	All_That_Remains	Auf diesen Beitrag antworten »
Basen von Vektorräumen Hallo an alle! Ich habe Schwierigkeiten mit folgender Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein K-Vektorraum und $\begin{eqnarray} B := (b_1, ..., b_n) \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} v := a_{1} b_{1} + ... + a_{n} b_{n} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_{i} \in K \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i = 1, ..., n. \end{eqnarray}$ Zeige: $\begin{eqnarray} B' := (b_1 - v, ..., b_n - v) \end{eqnarray}$ Basis von $\begin{eqnarray} V \Longleftrightarrow a_1 + ... + a_n \neq 1 \end{eqnarray}$ . Erstmal zur "Hinrichtung": Hier habe ich mir überlegt, dass man die Aussage evtl. gut mittels Beweis durch Kontraposition zeigen kann. Also, ich gehe davon aus, dass $\begin{eqnarray} a_1 + ... + a_n = 1 \end{eqnarray}$ und zeige, dass $\begin{eqnarray} B' \end{eqnarray}$ dann keine Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ist. Also, mal angenommen $\begin{eqnarray} a_1 + ... + a_n = 1 \end{eqnarray}$ . Wenn $\begin{eqnarray} B' \end{eqnarray}$ keine Basis ist, dann kann man den Nullvektor durch eine nicht triviale Liniearkombination der Vektoren von $\begin{eqnarray} B' \end{eqnarray}$ darstellen. Also: $\begin{eqnarray} a_1(b_1 - v) + ... + a_n(b_n - v) = 0 \end{eqnarray}$ . Die Koeffizienten $\begin{eqnarray} a_1, ..., a_n \end{eqnarray}$ sind absichtlich so gewählt, das sind nämlich genau die, die man braucht um den Nullvektor zu erzeugen (was noch zu zeigen ist). Außerdem wissen wir von denen, dass min. einer nicht null sein kann. Für den Fall $\begin{eqnarray} n = 2 \end{eqnarray}$ würde das z.B. so aussehen. $\begin{eqnarray} B = (b_1, b_2) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} v = a_1b_1 + a_2b_2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} B' = (b_1 - v, b_2-v) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_1(b_1 - v) + a_2(b_2 - v) = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = a_1(b_1 - a_1b_1 - a_2b_2) + a_2(b_2 - a_1b_1 - a_2b_2) = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = a_1( (1-a_1)b_1 - a_2b_2) + a_2( (1-a_2)b_2 - a_1b_1) = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = a_1(a_2b_1 - a_2b_2) + a_2(a_1b_2 - a_1b_1) = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = a_1a_2b_1 - a_1a_2b_2 + a_1a_2b_2 - a_1a_2b_1 = 0 \end{eqnarray}$ Ich habe das auch für $\begin{eqnarray} n = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n = 3 \end{eqnarray}$ nachgerechnet, daher denke ich, dass es auch für alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gilt. Leider kann ich das nicht zeigen, Induktion geht nicht (den IA kann man nicht benutzen), das direkte Nachrechnen führt zu riesigen Summen, wo man sich irgendwann nicht mehr zurecht findet. Kennt jemand von euch einen Weg oder muss man vllt auch völlig anders den Beweis führen?
29.11.2011, 11:57	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Gehe doch einfach direkt vor und betrachte $\begin{eqnarray} 0=\sum_{i=1}^n\lambda_i(b_i-v)=\sum_{i=1}^n\lambda_i(b_i-\sum_{k=1}^n a_k b_k) = \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i - \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n \lambda_i a_k b_k \end{eqnarray}$ Dann sortierst Du das ganze nach $\begin{eqnarray} b_i \end{eqnarray}$ und nutzt aus, dass $\begin{eqnarray} \{b_i\|i=1...n\} \end{eqnarray}$ eine Basis ist.
30.11.2011, 19:48	All_That_Remains	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, die "Hinrichtung" habe ich mittlerweile hinbekommen (ich werde meine Lösung dazu am Freitag oder Samstag posten, falls Interesse daran besteht, heute ist leider die Zeit zu knapp). Leider hänge ich auch bei der Rückrichtung. Im Tutorium wurde gesagt, es ist auch hier am einfachsten es mit Kontraposition zu zeigen. D.h. ich gehe davon aus, dass $\begin{eqnarray} B' \end{eqnarray}$ keine Basis ist und zeige, dass $\begin{eqnarray} a_1 + ... + a_n = 1 \end{eqnarray}$ sein muss. Meine Idee wäre folgenderweise vorzugehen: Sei $\begin{eqnarray} B' \end{eqnarray}$ keine Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . Dann sind die Vektoren aus $\begin{eqnarray} B' \end{eqnarray}$ lin. abhängig, d.h. es gibt eine nicht triviale Darstellung des Nullvektors: $\begin{eqnarray} \lambda_1 (b_1 - v) + ... + \lambda_n (b_n - v) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Longleftrightarrow \lambda_1 b_1 + ... + \lambda_n b_n = \lambda_1 v + ... + \lambda_n v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Longleftrightarrow \lambda_1 b_1 + ... + \lambda_n b_n = \lambda_1 (\sum\limits_{k=1}^n a_k b_k) + ... + \lambda_n (\sum\limits_{k=1}^n a_k b_k) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Longleftrightarrow \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i b_i = \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{k=1}^n \lambda_i a_k b_k \end{eqnarray}$ .... ? Naja, mein Ziel war es durch Umformungen dann Summen zu erhalten, aus denen dann klar wird, dass $\begin{eqnarray} a_1 + ... + a_n = 1 \end{eqnarray}$ sein muss. Es wäre super, wenn mir von euch jemand einen Hinweis geben könnte, wie ich weiter komme bzw. wie ich neu anfangen kann.

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