Endliche Erweiterung durch endliche Adjunktion alg. Elemente |
| 29.11.2011, 10:44 | lego | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Endliche Erweiterung durch endliche Adjunktion alg. Elemente Zeigen Sie folgende Behauptung. Eine Erweiterung L eines Korpers K ist eine endliche Erweiterung genau dann, wenn L durch Adjunktion endlich vieler uber K algebraischer Elemente entsteht. Die Aussage scheint mir klar zu sein, aber ich weiss nicht wie ich den Beweis angehen soll. |
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| 29.11.2011, 10:59 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hinrichtung: endliche Erweiterungen sind algebraisch, d.h. jedes a aus L ist Nst eine Polynoms aus K[X]. (man kann sogar ein obere Schranke für den grad solcher polynome angeben ) Rückrichtung: Körperturm aufstellen durch sukzessives adjungieren je eines elements. |
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| 29.11.2011, 12:11 | lego | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke für deine rasche Antwort, ich hätte aber noch ein paar Fragen: Wenn jedes a aus L eine NSt eines Polynoms aus K[X] ist, können wir dann sofort schließen, dass L dann durch Adj. von endlich vielen alg. Elementen entsteht? Bzgl. Körperturm: Ich hab mal versucht zu googlen, was so ein Körperturm ist und habs glaube ich verstanden, aber wie folgt dann die Behauptung? Es gilt zwar, dass endliche Erweiterungen alg. sind, aber die Umkehrung gilt doch i.A. nicht oder? |
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| 29.11.2011, 12:28 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nicht sofort. Ich würde zuerste die andere richtung zeigen und dann einen widerspruchsbeweis.
Körpertürme (das ist eine Inklusionskette von Körpern ) verhalten sich ziemlich angenehm bzgl. dem erweiterungsgrad.
Nein, klassische Beispiele für nicht-endliche, algebraische Erweiterungen sind der algebraische Abschluß der ganzen Zahlen oder der eines endlichen Körpers. |
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