Verhalten an Polstelle bestimmen

29.11.2011, 13:48	Tobi91	Auf diesen Beitrag antworten »
Verhalten an Polstelle bestimmen Hallo. Ich wollte mal fragen, wie man erkennen kann, wie sich ein Graph an einer Nullstelle verhält. Ich habe gehört, dass das mit dem Grad des Nenners zusammenhängt. Bei gerader Ordnung: kein Vorzeichenwechsel-->Graph kommt aus +00 und geht ins +00 bei ungerader Ordnung: Vorzeichenwechsel--> Graph kommt aus +00 und geht ins -00 oder umgekehrt. Aber wenn ich nun eine Fkt hab wie 1/(^2+x^3) hab ich ja gerade und ungerade. Wie kann ich da nun erkennen, wie sich der Graph an den Polstellen verhält? Vielen Dank
29.11.2011, 13:53	Packo	Auf diesen Beitrag antworten »
Tobi, willst du eigentlich den Graph an einer Nullstelle oder an einer Polstelle untersuchen?
29.11.2011, 14:09	Tobi91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meine Polstelle!!
29.11.2011, 14:12	chili_12	Auf diesen Beitrag antworten »
Allein am Grad kann man den VZW leider nicht ablesen. Wenn du zB mal $\begin{eqnarray} \frac {1} {2(x-1)(x+3)}=\frac {1}{2x^2 +4x-12} \end{eqnarray}$ betrachtest. Hier wären die Polstellen ja x=1 und x =-3 und beide wären mit VZW obwohl der Nennergrad gerade ist. Es kommt vielmehr darauf an ob es eine Doppelte/Vierfache/... Nullstelle des Nenners ist. so hätte zB $\begin{eqnarray} \frac {1} {2(x-1)^2(x+3)^6} \end{eqnarray}$ die selben Polstellen allerdings ohne VZW. Falls du einen GTR benutzen darfst plotte den Nenner mal. Doppelte/Vierfache/... Nullstellen erkennst du daran, dass der Graph an der Nullstelle ein Extremum besitzt. Wenn du ohne GTR arbeitest musst du die Nullstellen alle einzeln ermitteln. Wenn man mehrfache Nullstellen auch mehrfach zählt gilt, dass ein Polynom vom Grad n immer genau n Nullstellen besitzt. Wenn du also per PQ Formel bei einem Polynom vom Grad 2 zwei Nullstellen ermitteln kannst sind das einfache und damit sind es Polstellen mit VZW wenn nur eine rauskommt ist es eine doppelte und weist damit einen VZW auf. Bei höheren Graden müsstest du weitere Nullstellen via Polynomdivision ermitteln. Evtl ist es für dich aber auch einfacher zwei Zahlen in der Umgebung der Polstelle in den Nenner einzusetzten und zu errechnen ob ein VZW stattfindet. Wenn zB x=-1 eine Nullstelle ist kannst du -0,9 und -1,1 einsetzen. Wenn beide Ergebnisse das gleiche Vorzeichen aufweisen gibt es keinen VZW ansonsten.... mfg
29.11.2011, 14:17	Tobi91	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal. Ich habe das auch so gemacht, Stellen nahe der Polstelle einzusetzen und zu gucken, ob ein VZW vorliegt. Nur weiß ich nicht, ob das so einfach ohne Taschenrechner geht, da wir in unserer Klausur keinen TR benutzen dürfen Dein anderer Weg scheint mir aber noch ein wenig komplizierter
29.11.2011, 14:21	chili_12	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja solange der Nennergrad kleinergleich 2 ist ist es eigentlich einfach. Wenn der Grad = 1 hat die Polstelle immer einen VZW. Wenn der Nennergrad 2 ist und du auch zwei Polstellen rausbekommst haben die immer einen VZW, wenn du nur eine Polstelle rausbekommst hat die dann keinen VZW denn dann ist es eine doppelte Nullstelle. mfg
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02.12.2011, 17:34	Tobi91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab jetzt eine Beispielaufgabe, bei der ich ohne TR nie auf die Lösung kommen würde: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{12x^{2}-32x+2}{2x^{3}-7x^{2}+2x+3} \end{eqnarray}$ Die Polstellen sind bei x1=-1/2, x2=1 und x3=3 Wie erkennt man, ob die Polstellen ein VZW haben?

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