Gaußsches Eliminationsverfahren

29.11.2011, 13:48

SteveTheBuscemi

Gaußsches Eliminationsverfahren

Meine Frage:
Hallo,

Beim Gaußschen Eliminationsverfahren ohne Zeilenvertauschung ergeben sich die reduzierten Matrizen $\begin{eqnarray*} A_{t} = (a_{jk}^{t}) j,k = t,..,n \end{eqnarray*}$ durch die Formeln:

$\begin{eqnarray*} a_{jk}^{1}= a_{jk}, a_{jk}^{t+1}= a_{jk}^{t}- \frac{a_{jt}^{t}*a_{tk}^{t}}{a_{tt}^{t}} j,k=t+1,..,n, t=1,..,n-1 \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie: Ist $\begin{eqnarray*} A_{t}=a_{jk}^{t} \end{eqnarray*}$ symmetrisch bzw. hermitisch, so ist auch $\begin{eqnarray*} A_{t+1} \end{eqnarray*}$ symmetrisch bzw. hermitisch.

Meine Ideen:
Meine Idee ist, das ganze über vollständige Induktion über t zu lösen:

IA: t=1:
$\begin{eqnarray*} A_{1}=a_{jk} = (n.V.) a_{kj} \end{eqnarray*}$
IV: Behauptung gelte bis t
IS: t->t+1
$\begin{eqnarray*} A_{t+1}=a_{jk}^{t+1}=a_{jk}^{t}- \frac{a_{jt}^{t}*a_{tk}^{t}}{a_{tt}^{t}} <br /> =(n.IV) a_{kj}^t - \frac{a_{kt}^{t}*a_{tj}^{t}}{a_{tt}^{t}} = a_{kj}^{t+1} \end{eqnarray*}$

Das scheint mir irgendwie nicht ganz gefordert zu sein.

Vielen Dank für eure Hilfe.

MFG
Steve

29.11.2011, 17:36

Math1986

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RE: Gaußsches Eliminationsverfahren

Zitat:

Original von SteveTheBuscemi
Meine Ideen:
Meine Idee ist, das ganze über vollständige Induktion über t zu lösen:

IA: t=1:
$\begin{eqnarray*} A_{1}=a_{jk} = (n.V.) a_{kj} \end{eqnarray*}$
IV: Behauptung gelte bis t
IS: t->t+1
$\begin{eqnarray*} A_{t+1}=a_{jk}^{t+1}=a_{jk}^{t}- \frac{a_{jt}^{t}*a_{tk}^{t}}{a_{tt}^{t}} <br /> =(n.IV) a_{kj}^t - \frac{a_{kt}^{t}*a_{tj}^{t}}{a_{tt}^{t}} = a_{kj}^{t+1} \end{eqnarray*}$

Das scheint mir irgendwie nicht ganz gefordert zu sein.

Soweit sieht das richtig aus, wo genau siehst du da ein Problem?

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Gaußsches Eliminationsverfahren

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