integrationsbeweis (glaub ich)

29.11.2011, 14:30

a.M

integrationsbeweis (glaub ich)

Meine Frage:
wie beweist man das???

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n i^2 = \frac{n*(n+1)*(2*n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
kann man da was ausklammern?!?
Hilfe

Edit: Bitte verzichte auf die Verwendung von zu vielen Satzzeichen, das ist extrem hässlich zu lesen! Geändert. LG Iorek

29.11.2011, 14:32

Iorek

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Was sollte das mit der Integralrechnung zu tun haben? verwirrt

Diese Summenformel beweist man üblicherweise per vollständiger Induktion.

29.11.2011, 15:32

a.M

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aha... und wie macht man das in diesem fall? das mit dem dominosteinen hab ich im unterricht nur verstanden, weil wir das schritt für schritt aufgeschrieben haben und ich so NACHvollziehen konnte... jetzt weiß ich nichma wieso i^2 da steht bzw. was ich machen muss

Hilfe

29.11.2011, 15:39

Iorek

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n i^2 \end{eqnarray*}$ ist die Summe der Quadratzahlen, also $\begin{eqnarray*} 1+4+9+16+\dots +n^2 \end{eqnarray*}$ .

Als ersten Schritt gilt es immer, den Induktionsanfang durchzuführen. smile

29.11.2011, 15:52

a.M

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aha.. versteh ich nich... ich hab ma was versucht.. ich bin davon ausgegangen, dass

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

und dann hab ich quadriert, damit da ...
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n i^2 \end{eqnarray*}$
...steht

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n i^2 = \frac{(n(n+1))^2}{2^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n i^2 = \frac{n^2(n^2+2n +1)}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n i^2 = \frac{n^4+n^2*2n +n^2}{4} \end{eqnarray*}$

stimmt das??? Hilfe

29.11.2011, 16:02

Iorek

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Nein.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}2 \end{eqnarray*}$ ist zwar richtig, bringt uns hier aber nicht weiter.

Induktionsanfang: überprüfe die Aussage für n=1, d.h. setze n=1 ein und überprüfe, ob die Gleichung korrekt ist.

29.11.2011, 16:17

a.M

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wenn ich 1 einsetze kommt 1 raus..also stimmt das, oder wie???..
und was soll ich damit??? verwirrt

29.11.2011, 16:23

Iorek

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Was habt ihr euch denn zur vollständigen Induktion aufgeschrieben? Ihr solltet doch zumindest den Ablauf einmal notiert haben.

29.11.2011, 16:29

a.M

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insgesammt nur das:
IA: n=1=(1*2)/2=1
IV: die formel stimmt für 1!
IS: n->n+1

das wars... :/

muss man jetzt was mit lim machen???? Hilfe

29.11.2011, 16:36

Iorek

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Nein, der Limes hat hiermit nichts zu tun.

Ich kann mir aber auch nicht vorstellen, dass ihr da überhaupt nichts zum Vorgehen aufgeschrieben habt. Zumindest das Grundgerüst sollte doch erläutert worden sein.

Vollständige Induktion, [WS] Vollständige Induktion

29.11.2011, 16:44

a.M

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muss ich hir für n auch n+1 einsetzen??

29.11.2011, 21:29

Iorek

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Das solltest du im Induktionsschritt später machen, ja.

30.11.2011, 14:37

a.M

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kommt der induktionsschritt denn jetzt?? ich hab ja vorher bei IV bewiesen, dass 1 rauskommt... dann müsste doch jetzt IS kommen, oder???

30.11.2011, 14:44

Iorek

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Bei der Induktionsvoraussetzung beweist du nichts, du nimmst vielmehr an, dass die Aussage bereits für eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bewiesen sei. Daraus folgerst du dann im Induktionsschritt, dass die Aussage dann auch für den Nachfolger $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ gilt.

30.11.2011, 14:51

a.M

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.. indem ich dann für n (n+1) einsetze ?!?

30.11.2011, 15:00

Iorek

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Ja, das passiert im Induktionsschritt.

30.11.2011, 15:41

a.M

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dann hab ich ja das:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{6} * \frac{n+2}{6} * \frac{2n+3}{6} \end{eqnarray*}$

und wie gehts weiter??? Hilfe

30.11.2011, 15:44

Iorek

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Nein, das hast du nicht.

Fang mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} i^2 \end{eqnarray*}$ an, diese Summe solltest du jetzt so bearbeiten, bis du die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst. Dazu wäre es vielleicht ganz hilfreich, den letzten Summanden aus der Summe rauszunehmen.

30.11.2011, 15:54

a.M

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was heißt das??????

30.11.2011, 15:58

Iorek

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Was bedeutet denn das Summenzeichen?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} i^2 = 1^2+2^2+3^2+\dots + n^2+(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Und das fassen wir jetzt so zusammen, dass er letzte Summand nicht mehr in der Summe auftaucht:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} i^2 = 1^2+2^2+3^2+\dots + n^2+(n+1)^2=\sum\limits_{i=1}^n i^2 +(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Nach dieser Umformung könnte man nämlich die Induktionsvoraussetzung anwenden, über $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n i^2 \end{eqnarray*}$ wissen wir nämlich etwas.

30.11.2011, 16:06

a.M

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versteh ich nich...
ich soll doch das beweisen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n i^2 = = \frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

und wenn ich dann für n (n+1) einsetze steht doch das da, oder?:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^(n+1) i^2 = = \frac{(n+1)*((n+1)+1)*(2(n+1)+1)}{6} \end{eqnarray*}$

dieses n+1 aber über diesem summenzeichen..bekomme das hier nicht hin

oder geht das nicht so??? was muss ich denn machen??

30.11.2011, 16:09

Iorek

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Hast du dir die beiden Sachen, die ich dir verlinkt habe einmal durchgelesen? unglücklich

Dort steht der Ablauf der Induktion inklusive ausführlich vorgerechneter Beispiele. Dir scheint noch grundlegendes Wissen über das Prinzip der vollständigen Induktion zu fehlen.

30.11.2011, 16:24

a.M

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Zitat:

Original von Iorek
Was bedeutet denn das Summenzeichen?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} i^2 = 1^2+2^2+3^2+\dots + n^2+(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Und das fassen wir jetzt so zusammen, dass er letzte Summand nicht mehr in der Summe auftaucht:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} i^2 = 1^2+2^2+3^2+\dots + n^2+(n+1)^2=\sum\limits_{i=1}^n i^2 +(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Nach dieser Umformung könnte man nämlich die Induktionsvoraussetzung anwenden, über $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n i^2 \end{eqnarray*}$ wissen wir nämlich etwas.

was das summenzeichen genau bedeutet weiß ich nich genau... ist das nicht die fläche unter/über einer funktion??
also
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n i^2 \end{eqnarray*}$
ist doch
das, was ich beweisen will... was bringt mir das denn dann???

30.11.2011, 16:56

Iorek

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Das Summenzeichen hat erst einmal nichts mit einer Funktion zu tun, auch nicht mit einer Fläche.

Tipp: lies dich noch einmal gründlich in das Thema ein, schlag die (wichtige!) Bedeutung des Summenzeichens nach und werde dir klar, was du überhaupt beweisen sollst. Im Moment fehlt dir so ziemlich alles, was man für diesen (oder generell einen) Induktionsbeweis braucht. Ohne das, macht es hier aber wenig Sinn weiterzumachen.

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