unsterbliche punktförmige schnecke

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StellaStar Auf diesen Beitrag antworten »
unsterbliche punktförmige schnecke
Meine Frage:
Eine unsterbliche, punktförmige Schnecke kriecht auf einem (beliebig dehnbaren) Gummiseil der Länge 1m. Sie legt jeden Tag 1cm zurück. In der Nacht, wenn die Schnecke ruht, wird das Seil jedoch um 1m gedehnt. Zeigen Sie, dass die Schnecke in endlicher Zeit am Ende des Seils ankommt und dass sie mindestens e^99 und höchstens e^100 Tage hierfür benötigt.

Meine Ideen:
Wenn die Schnecke einen Tag gekrochen ist hat sie ja 1/100 von dem Band geschafft. Aber da das Band ja gedehnt wird, hat sie ja nach der ersten Nacht nur noch 1/1000 bewältigt. Wie soll sie denn jemals ankommen? Ich hab echt keine Ahnung wie man hier ansetzen kann... =(
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: unsterbliche punktförmige schnecke
hallo stellastar,
also das ist ja wirklich eine tolle aufgabe. Aber bdenke. dass wenn die schnecke
nachts schläft und das seil gedehnt wird, die schnecke schon dadurch automatisch
weiter geschoben wird, die aufgabe ist etwas komplizierter als du glaubst.
Das soll nur ein erster denkanstoss für den ansatz sein.
gruss ollie3
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

(Alles in cm und Tagen !)
In Physik rechnet man so:

Wenn das Gummiband in O(0|0) befestigt wird, befindet sich das Ende bei x=100.

Das Ende bewegt sich konstant mit 100 nach rechts.

. Die Schnecke bewegt sich konstant auf dem Seil mit .

Im Intervall dt erfolgt ein

und ein wobei x(t) der absolute Ort der Schnecke ist.

Zusammen oder

oder



DGL mit x(0)=100

Lösung:

wenn das ein Rätsel ist, kann ich die Funktion noch nachtragen , vielleicht auch so.

die Schnecke macht eine ziemlich weite Reise und ist länger unterwegs als die Lebensdauer von Protonen. Big Laugh

x(9)=977
x(1E9) =80E9
x(1E20=100E18
x(1E30=31E30
x(e^99)=e^99
x(e^100)=0
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Die "Mathematiker-Lösung" ist aber schöner Augenzwinkern :
Wenn man zählt, wie viel Prozent des Weges die Schnecke schon zurückgelegt hat, dann ist das nach dem ersten Tag 1, nach dem zweiten 1+1/2, nach dem dritten 1+1/2+1/3 usw. (da der anteilsmäßige Fortschritt durch das Dehnen nicht verändert wird) Da die harmonische Reihe divergiert, muss die Summe irgendwann 100 übersteigen, also die Schnecke ankommen.

Mit der einfach zu beweisenden Abschätzung aus diesem thread gilt :


(Die Schnecke ist also sogar schon nach spätestens Tagen da.)
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von juffo-wup
(Die Schnecke ist also sogar schon nach spätestens Tagen da.)




Augenzwinkern
chrlan Auf diesen Beitrag antworten »

versteh ich ehrlich gesagt nicht
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von juffo-wup
Wenn man zählt, wie viel Prozent des Weges die Schnecke schon zurückgelegt hat, dann ist das nach dem ersten Tag 1, nach dem zweiten 1+1/2, nach dem dritten 1+1/2+1/3 usw. (da der anteilsmäßige Fortschritt durch das Dehnen nicht verändert wird)


das ist irgendwie mathematisch klug, versteht das auch jeder?

Und ausserdem ziemlich blutleer, es fehlt das Fleisch Augenzwinkern
chrlan Auf diesen Beitrag antworten »

nein das ist ja das problem.
ausserdem wurde ein link auf meinen thread gepostet, der mich auch nicht weiterbringt, da das problem ja auch noch nicht gelöst wurdeAugenzwinkern

link: ungleichung bei einer harmonischen reihe
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

würde mich interessieren: hast dumeine Herleitung verstanden?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold


Augenzwinkern

Ich bin sicher die Schnecke würde dir zustimmen. smile

Zitat:
Original von Dopap
das ist irgendwie mathematisch klug, versteht das auch jeder?

Ich glaube das kann jeder verstehen, der sich die Dehnung eines Gummibandes vorstellen kann.

chrlan: Am k-ten Tag hat das Band Länge k. Daher ist der Fortschritt der Schnecke an diesem Tag im Verhältnis zur Länge gleich
Nach der Dehnung hat sich die Position der Schnecke um den gleichen Faktor verändert wie die Länge des Bandes. Daher bleibt das Verhältnis von Position der Schnecke auf dem Band zur Länge des Bandes gleich.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn eine stetige Lösung von Interesse ist, so handelt es sich gemäß Formulierung der Aufgabe doch um ein diskretes Problem.

Es sei die Länge des Bandes zu Beginn des -ten Tages und der Weg, den die Schnecke bis zum Abend des -ten Tages zurückgelegt hat. Als Maßeinheit sei 1 m gewählt. Die Schnecke bewege sich anders als bei Dopap in Dehnrichtung des Bandes.

Dann kann man ja die Folge der und leicht ausrechnen:



Jetzt wird das Band um 1 m verlängert, also verdoppelt. Daher verdoppelt sich auch der Weg der schlafenden Schnecke. Am folgenden Tag kriecht sie Meter weiter:



Wieder wird das Band um 1 m verlängert, was einer Multiplikation mit entspricht. Der Weg der schlafenden Schnecke ist mit demselben Faktor zu multiplizieren. Am dritten Tag kriecht sie Meter weiter:



Und so geht das weiter ...



...

chrlan Auf diesen Beitrag antworten »

@leopold
deiner erklärung kann ich folgen.
tut mir leid aber bei den anderen komme ich mit meiner vorstellungskraft an meine grenzen
chrlan Auf diesen Beitrag antworten »

also wäre:



und



wie komm ich dann weiter?
chrlan Auf diesen Beitrag antworten »

das hieße ja:

, damit die schnecke ankommt.

wie kriege ich jetzt raus ab wann das der fall ist?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »



man kann ja diskutieren, aber Obiges ist handfest. Auch die Ableitung = 0 ist kein Problem.
Die Schnecke erreicht den Umkehrpunkt bei t=e^99 -1
und ist dort e^99 weit entfernt.
--------------------------------------------
edit: das Erstaunliche ist doch, dass die Schnecke überhaupt irgendwann ankommt.
Wie würde hierfür die Quote bei einer Straßenbefragung aussehen? verwirrt
chrlan Auf diesen Beitrag antworten »

und wie sieht das bei der mathematischen lösung aus?
chrlan Auf diesen Beitrag antworten »

das muss doch per induktion gehen oder?
nur wie fange ich an? wenn ich 1 einsetze würde der IA ja schon falsch sein
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