Beweis vollständiger metrischer Raum

29.11.2011, 15:50	DudiPupan	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis vollständiger metrischer Raum Hallo, ich arbeite gerade an folgender Aufgabe Sei $\begin{eqnarray} \ell^{\infty} \end{eqnarray}$ die Menge aller beschränkten reellen Folgen. Für $\begin{eqnarray} x,y \in \ell^{\infty} \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} d(x,y):=sup_{n \in \mathbb N} \|x_{n}-y_{n}\|, \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} x=(x_{n})_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=(y_{n})_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} ( \ell^{\infty}, d ) \end{eqnarray}$ ein vollständiger metrischer Raum ist. jedoch fehlt mir jeglicher ansatz :-/ Vielen Dank
29.11.2011, 22:46	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständigkeitsbeweise kann man oft ähnlich aufziehen. Zu zeigen ist, dass jede Cauchy Folge konvergiert. Sei also $\begin{eqnarray} x_n \in l^\infty \end{eqnarray}$ eine Cauchy Folge, dann ist zu zeigen, dass diese Folge konvergiert. Schritt 1 : Finde einen Möglichen Kandidaten für den Grenzwert Schritt 2 : Zeige dass der Kandidat zu $\begin{eqnarray} l^\infty \end{eqnarray}$ gehört. Schritt 3 : Zeige, dass die Folge gegen den Kandidaten konvergiert. Als Tip für Schritt 1 : Betrachte $\begin{eqnarray} n_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ beliebig, aber fest und schau Dir mal die Folge $\begin{eqnarray} \tilde{x}_n = (x_n)_{n_0} \end{eqnarray}$ was kannst Du über diese Folge sagen ?
29.11.2011, 23:49	exzentriker	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplettlösung entfernt. Siehe Boardprinzip.
30.11.2011, 21:47	DudiPupan	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber ich muss doch vorerst ersteinmal beweisen, dass es eben ein metrischer Raum ist. oder?
30.11.2011, 21:49	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Es kommt drauf an, wenn Ihr noch nicht gezeigt habt, dass das obige Supremum eine Metrik liefert, musst Du das natürlich noch machen. Aber bis auf die Dreiecksungleichung sollte das für dich kein Problem sein .
30.11.2011, 22:24	DudiPupan	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich bei der Dreiecksungleichung einfach noch eine weitere Folge aus $\begin{eqnarray} \ell{\infty} \end{eqnarray}$ dazunehmen?
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30.11.2011, 22:27	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Das musst Du doch , du musst doch zeigen , dass $\begin{eqnarray} \sup_{n \in \mathbb{N}}\|x_n - y_n\| \leq \sup_{n \in \mathbb{N}}\|x_n - z_n\| + \sup_{n \in \mathbb{N}}\|z_n - y_n\| \end{eqnarray}$
30.11.2011, 22:34	DudiPupan	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, und wie fange ich da am besten an, also Definitheit und Symmetrie sind kein Problem
30.11.2011, 22:41	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
So schwierig ist das gar nicht wenn Du $\begin{eqnarray} \sup_{n \in \mathbb{N}} \|x_n + y_n\| \leq \sup_{n \in \mathbb{N}}\|x_n\| + \sup_{n \in \mathbb{N}}\|y_n\| \end{eqnarray}$ benutzt. Das setzt natürlich voraus, dass Du die Dreiecksungleichung der Supremumsnorm kennst. Diese ist aber nicht schwer zu beweisen.

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