Erwartungswert: unkorreliert / s.u. ZV

29.11.2011, 15:59

dj_mathe

Erwartungswert: unkorreliert / s.u. ZV

Hallo!
Ich bin grade leicht verwirrt. Stimmt das so:

A und B stochastisch unabhängig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow E(A\cdot B)=E(A)\cdot E(B) \end{eqnarray*}$
A und B unkorreliert $\begin{eqnarray*} \Rightarrow E(A\cdot B)=0 \end{eqnarray*}$

Aber folgt aus stochastisch unabhängig auch nicht immer unkorreliert?

29.11.2011, 16:09

Black

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Allgemein gilt: Aus der Unabhängigkeit folgt die Unkorreliertheit, die Umkehrung gilt in der Regel nicht.

Zitat:

Original von dj_mathe
A und B stochastisch unabhängig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow E(A\cdot B)=E(A)\cdot E(B) \end{eqnarray*}$
A und B unkorreliert $\begin{eqnarray*} \Rightarrow E(A\cdot B)=0 \end{eqnarray*}$

Das Erste stimmt, das Zweite nicht.

Wenn A,B unkorreliert sind, dann folgt dass die Kovarianz 0 ist, also $\begin{eqnarray*} Cov(A,B)=E(A \cdot B)-E(A)\cdot E(B)=0 \end{eqnarray*}$ , aber im allgemeinen gilt nicht $\begin{eqnarray*} E(A\cdot B)=0 \end{eqnarray*}$

26.01.2012, 12:51

dj_mathe

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Also gilt:

Stochastisch unabhängig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ unkorreliert
unkorreliert $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} E(A \cdot B)=E(A)\cdot E(B) \end{eqnarray*}$ , da

$\begin{eqnarray*} Cov(A,B)=0 \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt mal weißes Rauschen x(k) zu verschiedenen Zeitpunkten x(k) und x(k-1) nimmt,
für welches ja gilt, dass Realisierungen zu verschiedenen Zeitpunkten unkorreliert sind, dann ist

$\begin{eqnarray*} E\left\{ x(k)\cdot x(k-1)\right\} =E\left\{ x(k)\right\} \cdot E\left\{ x(k-1)\right\} \end{eqnarray*}$

und außerdem

$\begin{eqnarray*} E\left\{ x(k)\cdot x(k-1)\right\} =0 \end{eqnarray*}$

falls x(k) mittelwertfrei, oder?

Weil ich rechne im Moment viel mit Adaptiven Systemem, bei denen oft der Ausdruck

$\begin{eqnarray*} E\left\{ x(k)\cdot x(k-1)\right\} =0 \end{eqnarray*}$

vorkommt (mit x(k) eben gauß'sch, weiß und mittelwertfrei). Und ich hab mich gefragt woran das eigentlich liegt.
Also an der Mittelwertfreiheit. Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe...

Christoph

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