Produkt von Matrizen berechnen

09.01.2007, 22:28

Martin!

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Produkt von Matrizen berechnen

Eien wunderschönen abend euch allen,

ich wollte euch mal was kurz zu der folgenden AUfgabe was fragen:

a) Gegeben seien die folgenden Matrizen (über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} A_1 := \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} A_2 := (b_{11} b_{12} b_{13} b_{14}) \end{eqnarray*}$ ,
(Achtung, habe es nicht hinbekommen, aber eigentlich müsste zwischen b_{11} b_{12} b_{13} b_{14} immer ein leerzeichen sein. Also eine Zeile und vier spalten)

$\begin{eqnarray*} A_3 := \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} A_4 := \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} A_5 := \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie für $\begin{eqnarray*} 1 \leq i \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} j \leq 5 \end{eqnarray*}$ jeweils das Produkt $\begin{eqnarray*} A_i \cdot A_j \end{eqnarray*}$ , falls es definiert ist.

SO, und da wollte ich euch nun fragen, ob man folgende Produkte bilden kann. Und ob das dann alle sind, oder ob ich welche vergessen habe. oder sogar welche falsch sind:

$\begin{eqnarray*} A_4 \cdot A_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_2 \cdot A_5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_1 \cdot A_5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_1 \cdot A_2 \end{eqnarray*}$

vielen dank auch

Gruß Martin

09.01.2007, 22:38

Dunkit

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Also $\begin{eqnarray*} A_1 \cdot A_2 \end{eqnarray*}$ geht nicht

\EDIT: Ich will net zuviel verraten, aber ich glaube du musst dir die Aufgabe nochma genau angucken Augenzwinkern

Augenzwinkern

\EDIT5: doch, ich geb dir nochn Tipp
a) Das Produkt von Matrizen ist im Allgemeinen NICHT kommutativ (also $\begin{eqnarray*} AB \neq BA \end{eqnarray*}$
b) Sei $\begin{eqnarray*} A \in M_{m,n} (\mathbf{R}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \in M_{k,l} (\mathbf{R}) \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} A \cdot B \end{eqnarray*}$ definiert, dann und nur dann wenn $\begin{eqnarray*} n = k \end{eqnarray*}$

09.01.2007, 23:10

Martin!

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Tut mir leid, aber ich glaube ich stehe gerade auf dem schlauch.

du sagtest ja, ich sollte nochmal die aufgabenstellung nochmal anschauen. das verunsichert mich doch jetzt ein bisschen. heißt das, man kann doch nicht so einfach die matrizen einfach unter einander multiplizieren? so, wie ich es mir am anfang gedacht habe?

Und mit nicht kommutativ meinst du ja, was mir jetzt wo du es sagst auch logisch erscheint, dass ich nicht einfach wahllos multiplizieren kann. Also das zb. $\begin{eqnarray*} A_2 \cdot A_5 \end{eqnarray*}$ nicht das selbe ist, wie $\begin{eqnarray*} A_5 \cdot A_2 \end{eqnarray*}$ , oder?

was du als b) bezeichnet hast, ist mir noch nicht 100% klar. ich werde mir es auf jedenfall noch mal durch den kopf gehen lassen.

Auf jedenfall schon mal vielen dank.

ps: sind all meine multiplikationen falsch? oder ist auch was richtiges dabei? wenn ja, sag bitte was richtig ist. Vielleicht könnte mir das beim verständnis durchaus weiterhelfen.

Vielen, vielen Dank

10.01.2007, 01:41

derkoch

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Eine Produktbildung bei Matrizen ist nur möglich, wenn die Spaltenzahl vom A mit der Zeilenzahl von B übereinstimmt!

10.01.2007, 11:41

Dunkit

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das unter b) ist das, was derkoch gepostet hat nur halt mathematisch ausgedrückt....

Die AufgabenSTELLUNG hast du schon richtig verstanden, ich meinte nur du solltest dir dein eLösung nochmal angucken Augenzwinkern

Augenzwinkern

\EDIT außer $\begin{eqnarray*} A_1 \cdot A_2 \end{eqnarray*}$ sind deine Lösungen glaub ich richtig... Es fehlen halt nur noch welche

10.01.2007, 18:27

Martin!

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Ah, ich glaube jetzt verstehe ich es.
Danke :-)

Also, dann müssten folgende Produkte jetzt richtig sein:

$\begin{eqnarray*} A_4 \cdot A_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_2 \cdot A_5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_1 \cdot A_5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_3 \cdot A_4 \end{eqnarray*}$

und ich glaube, das war jetzt wirklich alles, oder?

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10.01.2007, 19:30

Dunkit

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also ich finde noch mindestens 2...

10.01.2007, 20:08

Martin!

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Du hast recht, es müsste noch:

$\begin{eqnarray*} A_3 \cdot A_1 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} A_4 \cdot A_1 \end{eqnarray*}$ gehen

12.01.2007, 10:28

SilverBullet

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Mal ne dumme Frage dazu :

Zitat:

Berechnen Sie für $\begin{eqnarray*} 1 \leq i \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} j \leq 5 \end{eqnarray*}$ jeweils das Produkt $\begin{eqnarray*} A_i \cdot A_j \end{eqnarray*}$ , falls es definiert ist.

Damit müsste man doch eigentlich nur überprüfen ob

$\begin{eqnarray*} A_1 \cdot A_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_1 \cdot A_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_1 \cdot A_4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_1 \cdot A_5 \end{eqnarray*}$

möglich ist oder nicht ?

Zitat:

Also, dann müssten folgende Produkte jetzt richtig sein:

$\begin{eqnarray*} A_4 \cdot A_3 \end{eqnarray*}$

Also, dann müssten folgende Produkte jetzt richtig sein:

$\begin{eqnarray*} A_4 \cdot A_3 \end{eqnarray*}$
Hier ist i = 4 und j = 3 also $\begin{eqnarray*} i \cdot j = 13 \end{eqnarray*}$ damit größer als 5 und nach Aufgabenstellung nicht zu bearbeiten.

Oder verstehe ich das falsch ?

12.01.2007, 11:56

derkoch

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Zitat:

Original von SilverBullet

$\begin{eqnarray*} A_4 \cdot A_3 \end{eqnarray*}$
Hier ist i = 4 und j = 3 also $\begin{eqnarray*} i \cdot j = 13 \end{eqnarray*}$ damit größer als 5 und nach Aufgabenstellung nicht zu bearbeiten.

Oder verstehe ich das falsch ?

ähhm! 2 sachen:

1.) $\begin{eqnarray*} 4\cdot 3 \neq 13 \end{eqnarray*}$

2.) 3,4 sind Indices und keine werte! (weißt du wie man ein Matritzenprodukt berechnet?) verwirrt

verwirrt

12.01.2007, 19:36

Dr. Logik

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Wie sieht es denn mit A5*A2 aus?
Das müsste doch auch gehen oder nicht?

13.01.2007, 13:08

Martin!

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@ Dr. Logik

ich würde dem zustimmen. Ich glaube das geht auch.

13.01.2007, 15:47

Dr. Logik

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Ich mache mal weiter mit der Aufgabenstellung zu der Aufgabe.

b) Berechnen Sie für die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi :\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3, x \mapsto A_3 \cdot x \end{eqnarray*}$ jeweils eine Basis von ker $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ und im $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \varphi^{-1}(\{(3,5,-1)\}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi^{-1} (\{(0,0,1)\}) \end{eqnarray*}$ .

Ich bin zunächst ersteinmal eine Frage zum ker $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ :

Ist die Lösung so in Ordnung:
sei $\begin{eqnarray*} x \in ker \varphi \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \varphi (x)=0 \Leftrightarrow A_3 \cdot x = 0 \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$ .

Folglich muss folgende erweiterte Matrix gelöst werden:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

führt zu:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&2&0&0 \\ 0&1&1&0 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie sieht denn jetzt eine Basis von ker $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ aus?
Kann ich einfach $\begin{eqnarray*} x_3=1 \end{eqnarray*}$ frei wählen und erhalte dann $\begin{eqnarray*} \{(1,-1,2)\} \end{eqnarray*}$ als Basis von ker $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ?

und zu im $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ :
ist $\begin{eqnarray*} \{(1,2,0),(0,1,1)\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von im $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ???

14.01.2007, 13:34

Martin!

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@ Dr. Logik,

sollten deine Berechnungen stimmen (was ich nicht weiß, da ich selbst unsicher bin, wie man das berechnet) dann würde deine Basis für den ker phi folgende sein:

{(1,2,0,0), (0,1,1,0)}

Würde ich jetzt sagen. kann dir aber auch keine 100% Bestättigung für geben. leider.

14.01.2007, 13:59

Dr. Logik

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Zitat:

Original von Martin!
dann würde deine Basis für den ker phi folgende sein:

{(1,2,0,0), (0,1,1,0)}

Das kann ja gar nicht sein! Dann wäre meine Basis auf einmal 4-dimensional obwohl wir uns im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ befinden.

zur Erklärung: die Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&2&0&0 \\ 0&1&1&0 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist die erweiterte Matrix. Das heißt, die letzte Spalte gehört nicht zu den Vektoren dazu.

Unser Übungsleiter hat allerdings gesagt, dass man beim Kern die Basis nicht einfach aus der erweiterten Matrix ablesen kann, wohl aber beim Bild. Daher komme ich auch auf das Bild:

$\begin{eqnarray*} im \varphi =\{(1,2,0),(0,1,1)\} \end{eqnarray*}$

Aber wie gesagt, ob das so richtig ist.... keine Ahnung!

14.01.2007, 14:12

Dunkit

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Die Basis des Bildes ist die Basis des durch die Spaltenvektoren der DARSTELLUNGSMATRIX aufgesoannten Untervektorraumes.

Die Basis des KERNS kann man soweit ich weiss, sehr wohl an euerer erweiterten Matrix ablesen, man muss sich nur vergewissern, dass die vektoren linear unabhängig sind.

14.01.2007, 14:40

Dr. Logik

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@dunkit:

Was ist denn in diesem Beispiel denn die Darstellungsmatrix?

(ich nehme an, dass Darstellungsmatrix und Abbildungsmatrix dasselbe meinen, allerdings verstehe ich nicht so recht die Bedeutung davon unglücklich

unglücklich

)

Kannst du mir das vielleicht mal bezgl. unserer Aufgabe sagen?

Woher weiß man eigentlich, ob man die Spalten- bzw. die Zeilen als Vektor auffasst?

14.01.2007, 14:50

Dunkit

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ge3nau diese Fragen stelle ich mir auch im Moment, höre nämlich auch(?) LA I.
aber ich glaube die Darstellungsmatrix ist in diesem Falle einfach A3 und ich denke, man muss die Spaltenvektoren betrachten, denn die sind schließlich die Koeff. der einzelnen x

14.01.2007, 15:08

Dr. Logik

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Vielleicht weiß das ja sonst noch jemand hier im Forum...?!

Aber meinst du denn, dass das Vorgehen für ker $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ so wie ich es beschrieben habe richtig ist? Dann müsste ja die Matrix hier:

Zitat:

Original von Dr. Logik
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&2&0&0 \\ 0&1&1&0 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

richtig sein.

Zitat:

Original von Dunkit
Die Basis des KERNS kann man soweit ich weiss, sehr wohl an euerer erweiterten Matrix ablesen, man muss sich nur vergewissern, dass die vektoren linear unabhängig sind.

Wenn es stimmt, dass die (linearunabh.) Spaltenvektoren dieser Matrix die Basis für ker $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ bilden, dann wären ja alle Elemente des Kerns nur zweidimensional (da die letzte Zeile 0 ist). Das kommt mir aber sehr seltsam vor...

14.01.2007, 15:22

Dunkit

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hm, vielleicht ist es aber doch dreidimensional, nur dass die dritte Zeile halt immer 0 sein muss?!

Oder man muss doch die Zeilenvektoren nehmen.... ähm grad voll kP, sorry

14.01.2007, 19:30

Dr. Logik

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Jetzt noch mal was zur a)

Bei den quadratischen Matrizen $\begin{eqnarray*} A_3 \text{und} A_4 \end{eqnarray*}$ muss man da auch das Produkt

$\begin{eqnarray*} A_3 \cdot A_3 \text{ und } A_4 \cdot A_4 \end{eqnarray*}$ berechnen???

14.01.2007, 20:36

Dunkit

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jo, das schon...

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