Cauchy-Produkt

29.11.2011, 17:41

David90

Cauchy-Produkt

Meine Frage:
Hi, weiß leider nicht wie ich diese Aufgabe lösen könnte.
Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n} x^{n} \end{eqnarray*}$

eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius p > 0.Zeigen Sie, dass
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty ( a_{0} + a_{1}+...+ a_{n} )x^{n} = \frac{1}{1-x} \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n} x^{n}<br /> \end{eqnarray*}$ für | x | < min (1,p)gilt.

Meine Ideen:
Vielleicht die erstmal den Grenzwert der Potenzreihe berechnen?

Meine Ideen:
Ich glaube, das ich den Konvergenzradius berechnen soll und dann kann ich gucken ob das ergebnis mit dem Wert in der Aufgabe über einstimmt. Ich bin mir aber nicht sicher ob das auch klappen würde. Könnt ihr mir bitte helfen.

29.11.2011, 18:16

juffo-wup

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Wie willst du denn den Konvergenzradius einer Potenzreihe berechnen, deren Koeffizienten du nicht kennst?
Weißt du denn, was das Cauchy-Produkt ist? Das muss hier nur einmal auf der rechten Seite gebildet werden, um die linke zu erhalten. (Schreibe dazu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ auch als Reihe.)

29.11.2011, 18:41

David90

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Ich weiß das an*bn =cn ist und cn das Cauchyprodukt ist.

Wenn ich mich nicht irre springt die Reihe von 1 zu -1 hin und her oder ist das falsch?

29.11.2011, 19:06

juffo-wup

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Zitat:

Original von David90
Ich weiß das an*bn =cn ist und cn das Cauchyprodukt ist.

Aber weißt du was ein Cauchyprodukt ist ?

29.11.2011, 19:35

David90

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Also ein Cauchyprodukt ist das Ergebnis zwei konvergenter Reihen wenn man sie miteinander multipliziert.

Ich hoffe mal das ist die Antwort auf deine Frage.

Vielen Dank das du mir bei der Aufgabe hilfst.

29.11.2011, 20:23

juffo-wup

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OK, wir brauchen also 2 Reihen. Die eine ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n \end{eqnarray*}$
Die andere soll $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ sein. Sagt dir der Begriff 'geometrische Reihe' etwas?

29.11.2011, 20:50

David90

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Ja das ist doch: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty ak \end{eqnarray*}$

29.11.2011, 20:57

juffo-wup

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Zitat:

Original von David90
Ja das ist doch: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty ak \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht was du meinst.

29.11.2011, 21:16

David90

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Die Summe auf der rechten Seite gehört ja zur geometrischen Reihe. Wenn also $\begin{eqnarray*} | x | < 1 \lim_{n \to \infty } x^{n} =0, also \lim_{n \to \infty } \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ . Das verstehe ich jetzt daraus aber trotzdem weiß ich leider nicht wie ich weiter machen soll. unglücklich

29.11.2011, 21:39

juffo-wup

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Was ergibt denn die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} x^k \end{eqnarray*}$ für einen Wert (für |x|<1)?

29.11.2011, 21:51

David90

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Es ergibt den Wert 0.

29.11.2011, 21:55

juffo-wup

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Nein. Es ist doch z.B. nicht $\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+..=0 \end{eqnarray*}$

29.11.2011, 22:04

David90

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Oh sorry dann hab ich deine Frage vorhin nicht verstanden.

Es ist 1+ 1/2+1/4+1/8+...+ ak und das ergibt 1/1-x.

29.11.2011, 22:13

juffo-wup

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Tut mir Leid, so bringt das nichts. Sieh dir die Definitionen besser nochmal an. (Folgen, Konvergenz, Reihen) Am besten auch viele Beispiele. Zum Beispiel in einem Analysis I Buch. Lass dir damit mal ein bisschen Zeit. Du hast Reihen,wohl auch Folgen und die formale, abstrakte Notation in der Mathematik, zumindest scheint es mir so, noch zu wenig verstanden, um diese Aufgabe lösen zu können.

29.11.2011, 22:55

David90

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Ne eigentlich kann ich das ganz gut mit den Reihen und den Folgen. Ich verstehe leider nur nicht was du meinst mit deiner Frage. verwirrt

30.11.2011, 05:44

juffo-wup

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Zitat:

Ne eigentlich kann ich das ganz gut mit den Reihen und den Folgen.

Wenn das wahr ist, dann hast du wohl Probleme mit formaler bzw. abstrakter Notation oder der in der Mathematik bzw. Analysis verwendeten Sprache. Auch das kann man schwer so umfassend in einem Forum vermitteln.
Ich meine es ist doch so, dass du die Aufgabenstellung überhaupt nicht verstanden hast, sorry. Als erstes würde ich mich dann fragen, was das, was in der Aufgabe gegeben und zu zeigen ist, überhaupt bedeutet. Es ist unmöglich die Aufgabe zu lösen, wenn man das nicht zuerst verstanden hat.
Wenn du die Ideen von Reihen usw. verstanden hast und es nur mit der Notation hakt, dann wird es sicher nicht sehr schwer für dich sein das fehlende Wissen an ein paar Nachmittagen nachzuholen. Danach kannst du dir die Aufgabe ja nochmal ansehen und bestimmt siehst du dann mehr. Wenn du dann noch spezielle Schwierigkeiten hast, kannst du gerne hier wieder nachfragen.

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