Implikation mittels Widerspruchsbeweis (ganz allgemein)

Neue Frage »

Alita Auf diesen Beitrag antworten »
Implikation mittels Widerspruchsbeweis (ganz allgemein)
In einer Übungsgruppe hat mein Übungsleiter angemerkt, dass es sehr unschön ist, wenn Widerspruchsbeweise folgendermaßen aussehen:

z.B. :
Beh:


Ann:


irgendwann im Beweis:



An sich ist das ja nicht nur unschön, sondern schlichtweg falsch, denn man kann aus nicht durch Rumgerechne irgendwann folgern. Dann hat man wohl eher im Beweis einen Fehler gemacht.


Jetzt versuche ich gerade ein Beispiel zu konstruieren, bei dem man auf die Schnauze fällt, wenn man nicht aufpasst, was zur Voraussetzung gehört und was die Annahme ist. Dabei würde ich mich über eure kreative Unterstützung freuen, auch wenn das vielleicht nur Pillepalle ist...
Ich hoffe, mein Anliegen (ein "falscher" Widerspruchsbeweis durch unsaubere Formulierung von Annahmen) ist halbwegs klar, sonst stehe ich natürlich gerne noch für Nachfragen zur Verfügung Augenzwinkern
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Zitat:
An sich ist das ja nicht nur unschön, sondern schlichtweg falsch, denn man kann aus nicht durch Rumgerechne irgendwann folgern. Dann hat man wohl eher im Beweis einen Fehler gemacht.


Das ist doch gerade der Witz an Widerspruchsbeweisen. Man nimmt an, dass etwas nicht stimmt und zeigt dann, dass unter dieser Annahme etwas absurdes herauskäme. z.B. kann das etwas sein, was gerade der Annahme widerspricht, wie in dem "unschönen" Beispiel. Damit ist dann gezeigt, dass die Annahme absurd sein muss (wenn man davon ausgehen kann, dass die logischen Schlüsse danach korrekt sind).

Könntest du vielleicht ein Beispiel nennen, welches der Übungsleiter bemängelt hat?

Ich würde mal darauf tippen, dass der Übungsleiter damit Beweise meint, welche eigentlich durch Kontraposition bewiesen wurden, aber als Widerspruch getarnt daherkommen.

smile
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Kontraposition:

Alita Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist gewissermaßen mein Problem, ich hatte einen völlig anderen Beweis geführt und er hatte das nur kurz an der Tafel skizziert. Wir hatten aber eine vergleichbare Problematik bei einer anderen Aufgabe, ich suche es gleich nochmal raus.

Der Witz am Widerspruchsbeweis ist mir meines Erachtens schon klar, allerdings würde dann die Aussage meines Pseudobeispiels ganz am Ende nicht zur Folgerung gehören. Der "Beweis" müsste korrekter Weise lauten:

Wähle (hier steht irgendein Beweis)

Und das ist nunmal nicht das gleiche.

An dieser Stelle habe ich mal Wikipedia bemüht, weil ich den Begriff nichtmehr kannte...tatsächlich meine ich hier mit "Widerspruchsbeweis" die Kontraposition verwirrt
Dann muss ich doch nochmal über das Konzept des Widerspruchbeweises nachdenken...ich vermute aber fast, das mein Hiwi das selbe meinte wie ich.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, wir verstehen uns nicht ganz. Ich geben mal ein Beispiel:

Beweisen wollen wir:
Zitat:

Sei Menge und injektiv. Dann gilt für alle




Zitat:

Beweis durch Kontraposition:
Sei eine Abbildung zu der es gibt mit .
Wir wollen zeigen, dass f nicht injektiv ist.

Da für beliebige Abbildungen stets gilt , muss es ein Element geben,
welches nicht in liegt. Da existiert mit ,
ebenso sieht man, dass existiert mit .

Da , kann nicht auch in liegen. Wegen folgt daraus, dass .

Also haben wir gefunden mit und somit ist f nicht injektiv. q.e.d.

Zitat:

Beweis durch "Pseudo-"Widerspruch:
Angenommen es gäbe eine injektive Abbildung
zu der es gibt mit .

Da für beliebige Abbildungen stets gilt , muss es ein Element geben,
welches nicht in liegt. Da existiert mit ,
ebenso sieht man, dass existiert mit .

Da , kann nicht auch in liegen. Wegen folgt daraus, dass .

Also haben wir gefunden mit und somit ist f nicht injektiv.

Doch das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass f injektiv ist. Folglich kann es ein solches f nicht geben und die Aussage muss stimmen. q.e.d.
Alita Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke nochmal drüber nach, aber ich verstehe glaub ich schon, was du meinst....
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Beeindruckend Freude

Eine so klare Abgrenzung muss man erst einmal finden.

Hat noch jemand ein ähnliches Beispiel, das aber weniger Sachverstand erfordert - sozusagen evidenter- ist ?
Das würde ich dann gerne mal meinen Schülern vorlegen.
Alita Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist wirklich nur ein Pseudo-Widerspruchsbeweis, weil ja die erste Voraussetzung gar nicht benutzt wird (die Injektivität). Also handelt es sich in beiden Fällen doch eigentlich um eine Kontraposition, nur dass man im zweiten Fall unschöner Weise (nach meinem Empfinden) eine zusätzliche Annahme mit nennt, die gar nicht notwendig wäre.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

@Dopap: Danke für die lobenden Worte. smile Intuitiv würde ich sagen, dass man sich einen beliebigen Beweis durch Kontraposition hernehmen kann und ihn dann mit ein, zwei Kniffen in einen Widerspruchsbeweis dieser Art verwandeln kann. Oder liege ich da womöglich falsch?

@Alita: Genau. Ich denke, sowas in der Art hat dein Übungsgruppenleiter auch gemeint. Jedenfalls schreibt man - vor allem am Anfang eines Mathematikstudiums - gerne solche Widerspruchsbeweise, welche eigentlich gar keine sind. Und das ist dann natürlich schon ein wenig unschön.
Alita Auf diesen Beitrag antworten »

OK, jetzt hab ichs wohl verstanden, dankeschön smile

Stimmt schon, bei Widerspruchsbeweisen kommt eine unsinnige Aussage raus, die immer falsch ist, daher muss schon die Annahme falsch gewesen sein. Ist glaub ich schon eine Weile her, dass ich wirklich was mit Widerspruchsbeweis gemacht habe, meist lief es wohl auf Kontraposition hinaus.

Allerdings habe ich mich dadurch jetzt nochmal mit Beweismethoden auseinandergesetzt und werde beim nächsten Mal hoffentlich genau wissen, was ich mache Augenzwinkern
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Allerdings habe ich mich dadurch jetzt nochmal mit Beweismethoden auseinandergesetzt und werde beim nächsten Mal hoffentlich genau wissen, was ich mache Augenzwinkern


Ja, das ist auch genau richtig so (nur wenn man sich solche Gedanken zum Stoff macht, hat man eine Chance das wirklich zu verstehen). Von da her war das sicherlich eine gute Frage. Freude
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »