Konvergenzradius einer Potenzreihe (Komplexe Zahlen)

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29.11.2011, 19:57	breezy	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius einer Potenzreihe (Komplexe Zahlen) Hallihallo, habe ein kleines Problem bei der folgenden Aufgabe: Bestimmen Sie für $\begin{eqnarray} z \in \mathbb C \end{eqnarray}$ den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n^2}z^n \end{eqnarray}$ Untersuchen Sie außerde, für welche z auf dem Rand des Konvergenzkreises die Potenzreihe konvergieren. ------------ Mein Ansatz: Habe erstmal mit dem Quotientenkriterium den Konvergenzradius bestimmt: (Konvergenzraius ist 1/q) $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \| \frac{2^{n+1}}{(n+1)^2}\frac{n^2}{2^n} \| := q \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \| \frac{2^n2^1n^2}{(n^2+2n+1^2)2^n} \| = 2\lim_{n \to \infty} \| \frac{n^2}{n^2+2n+1}\| = 2 \lim_{n \to \infty} \|\frac{1}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}\| = \frac{1}{1+0+0} = 2 \end{eqnarray*}$ daraus ergibt sich nun mein Konvergenzradius von 1/2. (bishier her wars ja noch nicht wirklich schwer) nun gehts aber um die Betrachtung des Konvergenzkreises in Komplexen Zahlen. Muss ich hier auch sagen dass der Betrag von z gleich meinem Konvergenzradius ist? Sprich \|z\|=1/2 (Betrag von komplexen Zahlen ist ja definiert als die Wurzel aus Imaginärteil²+Realteil²)? Kriege ich dann ein Gleichungssystem was ich lösen muss? Wie verfahre ich nun weiter? Liebe Grüße breezy
29.11.2011, 20:55	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab's grad flüchtig nachgerechnet und der Konvergenzradius scheint zu stimmen. Du hast es doch schon richtig stehen. Deine Potenzreihe konvergiert für also für $\begin{eqnarray} \|z\|<\frac 1 2 \end{eqnarray}$ . In $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ ist es nämlich so, dass die Potenzreihe für alle $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ auf der offenen Kreisscheibe $\begin{eqnarray} U_r(z_0) := \{ \|z-z_0\| < r \| z\in \mathbb{C} \} \end{eqnarray}$ ohne Rand konvergiert. Hier ist $\begin{eqnarray} r=\frac 1 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_0=0 \end{eqnarray}$ , also weißt du, dass die Potenzreihe für $\begin{eqnarray} \|z\|<\frac 1 2 \end{eqnarray}$ konvergiert. Ibn Batuta
29.11.2011, 22:04	breezy	Auf diesen Beitrag antworten »
irgendwie krieg ich jetzt keine gescheiten ergebnisse, muss wohl irgendnen fehler noch machen... \|z\|=1/2 -> (a²+b²)^(1/2) = 1/2 nun quadriere ich und kriege dann a²+b² = 1/4 wenn ich nun nach a oder b auflöse ist a = ((1/4)-b^2)^(1/2) wenn ich das wiederum in die anfangsgleichung einsetzte kriege ich 1/4^(1/2) = 1/2 ... wo liegt mein fehler? verstehe nur bahnhof im moment
29.11.2011, 22:14	Calahan	Auf diesen Beitrag antworten »
Beachte daß $\begin{eqnarray} \left\|\sum \frac{2^n}{n^2}z^n\right\|\leq\sum\frac{2^n}{n^2}\|z\|^n \end{eqnarray}$ Sollte die Reihe für $\begin{eqnarray} \|z\|=\frac 12 \end{eqnarray}$ konvergieren, dann hättest Du eine konv. Majorante für alle $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ auf dem Rand des Konvergenzkreises.
29.11.2011, 22:26	breezy	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich im rechten teil deiner ungleichung \|z\|=1/2 einsetze erhalte ich ja $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1^n}{n^2} \end{eqnarray}$ 1^n ist bekanntlich 1 und das ist unter bildung des quotientenkriteriums ja konvergent. ist das dann meine lösung? dass 1/n^2 meine majorante ist die konvergent ist, und deshalb ist die kleiner folge auch konvergent?
29.11.2011, 22:43	Calahan	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es!
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29.11.2011, 22:47	breezy	Auf diesen Beitrag antworten »
jippi-yay-yeah danke dir^^
30.11.2011, 08:26	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht, was dir das nun im Endeffekt gebracht hat. Du hast es weiter oben doch schon richtig aufgeschrieben. Was bringt dir die Umformung von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} z := a+{\rm i}\cdot b \end{eqnarray}$ ? Ibn Batuta
30.11.2011, 17:59	breezy91	Auf diesen Beitrag antworten »
nichts, wie ich im gleichungssystem festgestellt habe. das war ja mein fehler, ich habe versucht über die definition des betrages von komplexen Zahlen zu arbeiten. es reicht aber aus, einfach 1/2 in die ursprungsgleichung einzusetzen. einsetzen, als majorante definieren und sagen, dass deshalb die reihe konvergent ist.

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