Menge von komplexen Zahlen bestimmen: |Re(1/z)| + |Im(1/z)| = 1

29.11.2011, 19:59

Thrawnhex

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Menge von komplexen Zahlen bestimmen: |Re(1/z)| + |Im(1/z)| = 1

Meine Frage:
Ich habe auf meinem derzeitigen Übungszettel folgende Aufgabe bekommen:

-----------------

Bestimmen Sie die Menge der komplexen Zahlen z = x + iy ? C , für die gilt:

|Re(1/z)| + |Im(1/z)| =1

Skizzieren Sie diese Punktmenge in der Gaußschen Zahlenebene.

-----------------

Unser Tutor hat uns die Punktmenge skizziert gezeigt, zu sehen war eine Art Kreis, an den Achsen nach innen "eingebeult". Eine sehr unmathematische Beschreibung, mir fehlt zur korrekten Beschreibung wohl das Wissen.

Meine Ideen:
Leider kann ich bisher nicht viel damit anfangen. Meine erste Idee war:

Re(1/z) = 1/x, Im(1/z) = 1/y

Dazu zu allererst die Frage, ob ich so umstellen darf?
Wie kann ich danach nach x auflösen?

Vielen Dank für die Hilfe, Thrawnhex

29.11.2011, 20:26

mYthos

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RE: Aufgabe: Menge von Komplexe Zahlen bestimmen: |Re(1/z)| + |Im(1/z)| = 1

Zitat:

Original von Thrawnhex
....
Re(1/z) = 1/x, Im(1/z) = 1/y
...

Das ist falsch. Man darf nicht Real- und Imaginärteil getrennt umkehren.
Du musst erst 1/z bestimmen, dann davon den Real- bzw. Imaginärteil.

mY+

29.11.2011, 21:19

Thrawnhex

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Dem entsprechend würde ich auf

1/z = x/(x+iy)^2 + iy/(x+iy)^2

kommen. Jetzt muss ich das noch in Realteil und Imaginäteil zerlegen. Daran bin ich aber eben leider kläglich gescheitert. Hast du einen Tipp?

Danke und Gruß, Thrawnhex

29.11.2011, 21:29

Ibn Batuta

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Geh' doch systematisch vor.

Sei $\begin{eqnarray*} z=a+\rm i\cdot b \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \frac 1 z = \frac 1 {a+\rm i\cdot b} = ... = \frac{a}{a^2+b^2} - \rm i\cdot\frac{b}{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$ .

Damit ist $\begin{eqnarray*} \text{Re}(z)= \frac{a}{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{Im}(z)=\frac{b}{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$ .

Also gilt: $\begin{eqnarray*} \left | \frac{a}{a^2+b^2} \right | + \left | \frac{b}{a^2+b^2} \right | = 1 \end{eqnarray*}$ .

Den Rest wirst du schon alleine schaffen.

Ibn Batuta

30.11.2011, 22:37

Thrawnhex

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Vielen, vielen Dank!

Geschickt erweitert ließ sich das dann doch wunderbar umformen, dazu fehlt mir wohl noch der blick.

Die Beträge hab ich meiner Lösung einfach mal durch Fallberachtungen anschaulich gemacht. Deswegen sieht die Zahlenmenge in der Gauß'schen Zahlenebene auch so aus wie beschrieben.

Thrawnhex

01.12.2011, 18:56

Auron23

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Ich hänge leider immer noch der Aufgabe.

Die schon beschriebene Form habe ich selbst gebildet, scheitere jedoch leider daran, den Betrag wegzubekommen, ohne dass dabei ein polynomischer Wust herauskommt.

Hätte vielleicht noch jemand einen Tipp parat, wie man das elegant gelöst bekommt? Ich bin nach etlichen verschiedenen Lösungswegen ziemlich ausgebrannt und befürchte, dass ich etwas Offensichtliches übersehe.

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01.12.2011, 19:08

Ibn Batuta

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Was genau hast du denn probiert? Zeigen wäre schonmal was.

Ibn Batuta

01.12.2011, 19:31

Auron23

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Ein Ansatz war z.B. folgender:

Da die Nenner immer größer Null sind, kann man den Betrag auf die Zähler beschränken und beides zusammenziehen, also auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{| a | + | b | }{ a^{2} + b^{2} } = 1 \end{eqnarray*}$

Den Nenner kann man dann natürlich rüberbringen:

$\begin{eqnarray*} | a | + | b | = a^{2} + b^{2} \end{eqnarray*}$

Hier habe ich keine einfache Lösung entdecken können und daher den "brachialen" Weg des Quadrierens gewählt, um den hinderlichen Betrag wegzubekommen:

$\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 + 2| ab | = (a^{2} + b^{2})^2 \end{eqnarray*}$

Leicht umgeordnet:

$\begin{eqnarray*} 2| ab | = (a^{2} + b^{2})^2 - \left(a^2 + b^2\right) \end{eqnarray*}$

Ab dieser Stelle habe ich dann die offensichtliche Möglichkeit, den Betrag durch erneutes Quadrieren wegzubekommen.
Theoritisch könnte ich vorher auch erst nochmal durch $\begin{eqnarray*} \left(a^2 + b^2\right) \end{eqnarray*}$ teilen, doch in beiden Fällen läuft es auf ein enormes Polynom raus, bei dem ich mir nicht vorstellen kann, dass es zu etwas führt.

01.12.2011, 19:39

Ibn Batuta

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Ich verstehe das Problem noch immer nicht. Du hast doch schon richtig umgeformt zu:

$\begin{eqnarray*} | a | + | b | = a^{2} + b^{2} \end{eqnarray*}$

Und die Aufgabenstellung lautet:

Zitat:

Skizzieren Sie diese Punktmenge in der Gaußschen Zahlenebene.

Damit kannst du doch die Punkte nun einzeichnen. Sieht übrigens hübsch aus.

Ibn Batuta

01.12.2011, 19:48

Auron23

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Mir schwant, ich denke zu kompliziert...

Die trivialen Lösungen für (1,0), (0,1), (1,1), (-1, 1) etc waren mir natürlich sofort klar, wodurch sich auch ein bestimmtes Muster ergibt, doch ich dachte, ich müsse ein Ergebnis herausarbeiten, mit dem ich auch die komplizierten Lösungen der Gleichung herausfinden kann.

Ist die Menge dieser trivialen Lösungen wirklich bereits ausreichend um das entstehende Bild zu rechtfertigen oder unterliege ich immer noch einem Denkfehler?

Irgendwie erkenne ich nicht, warum ich damit schon am Ziel angekommen sein soll.

01.12.2011, 20:41

Ibn Batuta

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Wenn du eine Lösung finden kannst, nur zu. Ich kann's händisch nicht.

Ibn Batuta

01.12.2011, 21:11

mYthos

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Man muss offensichtlich einzelne Fallunterscheidungen für a und b hinsichtlich der Quadranten, in denen diese Zahlen liegen, machen.
Übrigens setzt man besser x anstatt a und y anstatt b, denn dann ergeben sich gleich die Funktionsgleichungen in richtiger Schreibweise [f(x,y)]

z = x + iy
x,y nicht beide Null

1.

$\begin{eqnarray*} x \geq 0, \ y \geq 0 \end{eqnarray*}$ (1. Quadrant)

$\begin{eqnarray*} x + y = x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x - \frac 1 2)^2 + (y - \frac 1 2)^2 = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Dies ist ein Kreis. M(1/2; 1/2), r = Wurzel aus 1/2, welcher - wegen der o.a. getroffenen Voaraussetzungen nur im 1. Quadranten gezeichnet werden darf.

2. Analog, ... (2. Quadrant, usw.)

Auf diese Weise entsteht als Vereinigungsmenge dieses "eingeschnürte Gebilde", wie du es ähnlich benannt hast.

mY+

01.12.2011, 21:17

Ibn Batuta

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Da sieht man einmal mehr, dass ich nicht den Hauch einer Ahnung von Geometrie und geometrischen Gebilden habe. Big Laugh

Big Laugh

Danke mYthos!

Ibn Batuta

01.12.2011, 21:52

Auron23

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Scheinbar habe ich wirklich zu kompliziert gedacht.

Das Gebilde ergibt sich schon daraus, wenn man eine Variable setzt und mittels pq-Formel auflöst.

mYthos Ansatz erscheint mir aber doch vollständiger dann...
Mit welcher Vorrausetzung darf ich denn schließen, dass es sich bei der umgeformten Gleichung um einen Kreis handelt, auch wenn es mir in der Zeichnung ersichtlich ist?

Und zuguterletzt:

Kann ich mir die Quadranten-Fallunterscheidung nicht theoretisch sparen, indem ich darauf verweise, dass die Variablenwerte gleichbleiben, egal in welchem Quadranten man sich bewegt, was nichts anderes heißt, als dass das ganze Gebilde Nullpunkt- und achsensymmetrisch ist?

01.12.2011, 22:02

Ibn Batuta

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Das ist die Koordinatengleichung des Kreises, die dir mYthos geliefert hat.

Ibn Batuta

01.12.2011, 22:15

mYthos

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Dass diese Gleichung einen Kreis darstellt, braucht wirklich nicht mehr bewiesen zu werden. Wenn doch: Pythagoras lässt grüßen.

Ja, achsen- und punktsymmetrisch dürfte dieses Gebilde tatsächlich sein, in diesem Falle muss das nicht vier Mal von A bis Z durchgerechnet werden.

mY+

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