Kommutierende Normalteiler

29.11.2011, 20:00

Roonex

Kommutierende Normalteiler

Aufgabe:

Seien $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Normalteiler der Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , deren Schnitt nur die 1 enthält. Zeige dass $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ kommutieren.

Ich hab mir eine Lösung überlegt, aber weiß nicht ob es wirklich eine ist verwirrt

Für Normalteiler gilt ja, dass deren Linksnebenklassen mit den Rechtsnebenklassen übereinstimmen.
Ich betrachte also z.B. für $\begin{eqnarray*} m \in M \end{eqnarray*}$ die Nebenklasse $\begin{eqnarray*} mN = Nm \end{eqnarray*}$ .
Hieße das nicht schon, dass die Normalteiler kommutieren? Ich glaube eher nicht, weil erstmal nur die Klassen gleich sind, oder?

Wie bringe ich die Bedingung, dass der Schnitt der Normalteiler trivial ist, mit ein?
Einige andere Ansätze, z.B. direkt die Gleichheit $\begin{eqnarray*} m \cdot n = n \cdot m \end{eqnarray*}$ zu zeigen, sind gleich gescheitert.

Hoffe das mir jemand einen Denkanstoß geben kann, hocke jetzt schon ein paar Stündchen über einigen vollgekritzelten Blättern smile

29.11.2011, 20:36

Ibn Batuta

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RE: Kommutierende Normalteiler

Zitat:

Original von Roonex
Ich betrachte also z.B. für $\begin{eqnarray*} m \in M \end{eqnarray*}$ die Nebenklasse $\begin{eqnarray*} mN = Nm \end{eqnarray*}$ .

Ich verstehe nicht, was du dir davon erhoffst. Zumal diese Aussage so wie du sie stehen hast, falsch ist.

Für den Normalteiler $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ gilt doch für jedes $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} gM = Mg \end{eqnarray*}$ .

Ibn Batuta

29.11.2011, 20:57

Roonex

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Ja genau das meine ich, und für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ lassen sich doch insbesondere die $\begin{eqnarray*} n \in N \end{eqnarray*}$ wählen. Und da beide Normalteiler nur den trivialen Schnitt haben, sind die Nebenklassen (hoffentlich) paarweise verschieden (bzw. es gibt keine zwei $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m' \in M \end{eqnarray*}$ sodass beide in der gleichen Nebenklasse liegen, also jedes $\begin{eqnarray*} m \in M \end{eqnarray*}$ ist ein eigener Repräsentant seiner Nebenklasse) und dadurch erhält man sowas wie die Kommutativität.

Zumindest stell ich mir das so vor, weil mir nichts besseres einfällt smile

29.11.2011, 21:20

Ibn Batuta

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Ich hätte so angesetzt, allerdings weiß ich nicht, ob das so richtig ist, wie ich mir das spontan überlegt habe.

Sei $\begin{eqnarray*} m\in M, n\in N, g\in G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ sei das Produkt $\begin{eqnarray*} g := n^{-1}mnm^{-1} \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ genau in $\begin{eqnarray*} M\cap N \end{eqnarray*}$ folgt daraus, dass $\begin{eqnarray*} mn=nm \end{eqnarray*}$ ist und damit die Behauptung.

Ibn Batuta

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