Stetigkeit

29.11.2011, 20:05

RuffyD.Monkey

Stetigkeit

Edit (mY+): Dringend ist hier alles und nichts. Daher bitte nicht drängen.

Meine Frage:
Hallo brauche dringend Hilfe bei folgender Aufgabe

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

a) Bestimmen Sie den Maximalendefinitionsbereich in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ von f

b) Ist die Funktion stetig auf ihren Defintionsbereich?

c)Besitzt die Funktion f auf ]0,1[ und auf ]0, 3] Maximum und Minimum?

d) Bestimmen Sie die Folgende Ableitung $\begin{eqnarray*} (f^{-1} )' \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
zu a)

$\begin{eqnarray*} D= \left\{x\forall x<0<x\right\} \end{eqnarray*}$

ich habe den senkrechten Strich nicht gefunden, deshalb habe ich stattdessen das Zeichen für alle benutzt.

zu b)

1.Schritt:
$\begin{eqnarray*} | f(x)-f(x0)| < Epsilon \end{eqnarray*}$

2.Schritt (einsetzen):

$\begin{eqnarray*} | \frac{1}{x} -\frac{1}{x0} | = | \frac{x0-x}{x*x0} |= | \frac{x-x0}{-x*x0} |= |\frac{1}{-x0*x} |*| (x-x0 |< \frac{1}{| -x*x0 | }*delta \end{eqnarray*}$

3.Schritt( x>(x0/2) einsetzen):

$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{-x0*x} |*| (x-x0 | < \frac{1}{| -x*x0 | }*delta \leq \frac{1}{\frac{-x0}{2}*x0 } = \frac{2}{| -x0^2 | } < Epsilon \end{eqnarray*}$

4.Schritt:

$\begin{eqnarray*} delta: min \frac{x0}{2} , Epsilon*\frac{x0^2}{2} \end{eqnarray*}$

damit ist die Stetigkeit bewiesen.

zu c)

1.Schritt:

$\begin{eqnarray*} f(x)'= -\frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

Das ganze 0 setzen was zu einem Widerspruch führt. Damit ist bewiesen das es weder Minimum noch Maximum gibt.

zu d)

1.Schritt (Umkehrfunktion):

$\begin{eqnarray*} f(x)^-1= \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

2.Schritt Ableitung:

$\begin{eqnarray*} (f(x)^-1)'=-\frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

29.11.2011, 20:21

original

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RE: Stetigkeit

Zitat:

Original von RuffyD.Monkey
Edit (mY+): Dringend ist hier alles und nichts. Daher bitte nicht drängen.

zu a)

$\begin{eqnarray*} D= \left\{x\forall x<0<x\right\} \end{eqnarray*}$ unglücklich

ich habe den senkrechten Strich nicht gefunden, deshalb habe ich stattdessen das Zeichen für alle benutzt.

nach dem hilfreichen blauen Text nun noch eine Frage:

wie soll das gut gehen: x<0<x .. also direkt gelesen: x<x verwirrt

nun, es ist doch so: deine Funktion ist für alle von 0 verschiedenen Werte von x definiert
..wie kannst du das sinnvoll mit mathematischen Zeichen notieren?

.

29.11.2011, 20:29

RuffyD.Monkey

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RE: Stetigkeit
$\begin{eqnarray*} D= \mathbb R /\left\{0\right\} \end{eqnarray*}$

Meinst du ich soll es so schreiben?

29.11.2011, 20:50

original

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RE: Stetigkeit
ja ,

oder zB so: D= R \ {0}

smile

29.11.2011, 20:53

RuffyD.Monkey

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RE: Stetigkeit
Und wie sieht es mit dem Rest aus?

Ist das richtig?

29.11.2011, 21:03

original

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RE: Stetigkeit
c) und d) ja
nur: übliche Schreibweise ist f^(-1) (x) statt f(x)^(-1)

b) solltest du nochmal ganz neu überdenken..
.

29.11.2011, 21:05

RuffyD.Monkey

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RE: Stetigkeit
was meinst du damit?

Ist der Ansatz auch falsch??

könntest du mir vllt einen Tipp geben?? verwirrt

29.11.2011, 21:19

original

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RE: Stetigkeit
bis zum 2. Schritt kann mans noch akzeptieren, danach wirds nicht mehr gut..

schaffe klare Verhältnisse: schreib zuerst mal auf,
wie Vor. und wie die Beh. genau aussehen ..usw

aber da hilft dir sicher der "Master Of Desaster" weiter ..
ich bin nachher mal weg .

29.11.2011, 21:30

RuffyD.Monkey

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RE: Stetigkeit
Meinst du das ich da $\begin{eqnarray*} x>\frac{x0}{2} \end{eqnarray*}$ eingesetzt habe?

Ich habe da muss ich ehrlich sagen einfach irgendwas eingesetzt was kleiner als x ist und ein x0 beinhaltet.

Ich weiß nicht genau wie ich das x loswerde.
Durch was muss ich es ersetzen?

29.11.2011, 21:50

RuffyD.Monkey

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RE: Stetigkeit

Zitat:

Original von RuffyD.Monkey
Meinst du das ich da $\begin{eqnarray*} x>\frac{x0}{2} \end{eqnarray*}$ eingesetzt habe?

Ich habe da muss ich ehrlich sagen einfach irgendwas eingesetzt was kleiner als x ist und ein x0 beinhaltet.

Ich weiß nicht genau wie ich das x loswerde.
Durch was muss ich es ersetzen?

29.11.2011, 22:21

Gastmathematiker

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RE: Stetigkeit

Zitat:

Original von original
c) und d) ja
nur: übliche Schreibweise ist f^(-1) (x) statt f(x)^(-1)

b) solltest du nochmal ganz neu überdenken..
.

c) Nein!
In einem Fall existiert nämlich ein Minimum

b) Unsauber aufgeschrieben, aber eigentlich OK

Die Definition von Delta gehört vor die Rechnung und du brauchst bei dieser Def. Beträge, da $\begin{eqnarray*} x_0<0 \end{eqnarray*}$ möglich ist.
In der Rechnung verschwindet zeitweise das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$

29.11.2011, 22:34

RuffyD.Monkey

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RE: Stetigkeit
Meinst du bei x=3 gibt es ein minimum??

29.11.2011, 22:37

Gastmathematiker

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RE: Stetigkeit
Ja, genau.

Jetzt solltest du noch überlegen , was bei deiner bisherigen Argumentation fehlt (schließlich lieferte sie ein falsches Ergebnis) und deine Argumentation vervollständigen um weitere Maxima/Minima auszuschließen.

29.11.2011, 22:41

RuffyD.Monkey

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RE: Stetigkeit
kann ich das so hin schreiben:

$\begin{eqnarray*} min\left\{ \frac{1}{x}|0\leq x\leq 3 \right\} =\frac{1}{3}\Rightarrow x=3 \end{eqnarray*}$

29.11.2011, 23:14

RuffyD.Monkey

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RE: Stetigkeit

Zitat:

Original von RuffyD.Monkey
kann ich das so hin schreiben:

$\begin{eqnarray*} min\left\{ \frac{1}{x}|0\leq x\leq 3 \right\} =\frac{1}{3}\Rightarrow x=3 \end{eqnarray*}$

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