Turnier Jeder gegen Jeden -> Schubfachprinzip |
| 29.11.2011, 21:13 | ivy | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Turnier Jeder gegen Jeden -> Schubfachprinzip "Bei einem Turnier muss jeder Spieler genau einmal gegen jeden der anderen Spieler antreten. Zeigen Sie: Zu jedem Zeitpunkt des Turniers gibt es mindestens zwei Spieler die dieselbe Anzahl von Spielen bestritten haben." Meine Ideen: Grundsätzlich muss meiner Meinung nach in zwei Fälle unterschieden werden: Gibt es eine gerade Anzahl an Teilnehmern n, so müssen n - 1 Runden gespielt werden (1 Runde = so viele Spiele wie möglich gleichzeitig) bis jeder gegen jeden gespielt hat. Ist die Anzahl der Teilnehmer jedoch ungerade, so sind n Runden notwendig, bis jeder gegen jeden gespielt hat (pro Runde setzt einer aus). Meine Idee war jetzt die folgende: Ich stelle mir für die "Anzahl der gespielten Spiele" Fächer vor. Jeder Spieler ist dabei in dem Fach, dass der Anzahl der von ihm gespielten Spiele entspricht. -> n Spieler -> jeder Spielt n - 1 mal -> n - 1 Fächer Ich müsste ja nun zeigen, dass zu jeder Zeit zwei Spieler im selben Fach sind (=die gleiche Anzahl von Spielen haben). Im Fall einer geraden Anzahl an Spielern ist das trivial - mit jeder Runde verschieben sich alle Spieler ins jeweils nächste Fach, alle haben stets gleich viele Spiele. Womit ich etwas hänge, ist der Fall, dass eine ungerade Anzahl an Teilnehmern das Turnier bestreitet. Meine Idee war, das ganze irgendwie auf das Schubfachprinzip zu führen (also quasi Anzahl Spieler > Anzahl Fächer -> in einem Fach sind mind. 2 Spieler, was ja zu zeigen ist). Stelle ich mir das ganze als Graphen vor, in dem ich zwischen den Knoten(=Spielern) pro Spiel jeweils eine Kante ziehe, bleibt mir jede Runde ein Knoten über, der Spieler der aussetzt. Umgelegt auf das Schubfach Prinzip heißt das doch, ich kann ein Fach weglassen und meine Ansatz wäre dadurch bewiesen (Spieler stets > Fächer). Aber irgendwie bin ich mir da ganz und gar nicht sicher :-( |
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