eigenvektorenberechnung

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30floh00 Auf diesen Beitrag antworten »
eigenvektorenberechnung
Meine Frage:
Hey ich habe eine Matrix :
2 -1 2
-1 2 -2
2 -2 5

und soll die Eingenvektoren bestimmen. Eignwerte hab ich : 7 und 1
Eigenvektor für 7 ist : (1/-1/2)^T


jetzt mein Problem: Ich habe in die Matritze 1 eingesetzt und es bleibt eine Zeile:
1 -1 2 0
0 0 0 0
0 0 0 0



Meine Ideen:
Als Ergebnis erhalte ich, wenn ich für x1 und x2 parameter einsetze: (2/0/1)^T und (0/2/1)^T
Diese ergebnisse sind aber nich konform mit denen aus dem Lösungsheft und meiner Mitbewohner, die x3 und x2 eingesetzt haben und somit folgendes erhielten: (1/1/0)^T und (-2/0/1).

Warum ist das so? bzw. ist doch ein Zusammenhang da, den ich nicht erkenne oder darf man einfach von Prinzip her nur rückwärts einsetzen?

vielen dank für die Antworten
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Matritze 1


Der Singular von Matrizen ist Matrix. Eine Matrize verwendet man beim Plotten/Drucken.

Zitat:
Eigenvektor für 7 ist : (1/-1/2)^T


Richtig!

Zitat:
(2/0/1)^T


Falsch, du kannst immer die Probe machen. Wenn (2/0/1)^T ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 sein würde, dann müsste



sein. Es ist aber



Bei (0,2,1) hast Du aber richtig gerechnet, denn



Die Eigenvektoren (1/1/0), (-2,0,1) sind auch richtig.

Zitat:
darf man einfach von Prinzip her nur rückwärts einsetzen?


Wo Du anfängst einzusetzen ist im Prinzip egal. Du darfst nicht vergessen, dass Du es mit Gleichungssystemen zu tun hast, und da ist es egal welche Variable Du zu erst festsetzt, die anderen sind ja dann davon abhängig. Es ist aber so, dass man in der Treppennormalform sehr einfach die Lösung bestimmen kann, indem man von hinten nach vorne vorgeht. Ansonsten kann ich Dir natürlich nicht sagen was Du falsch gemacht hast, wenn ich deine Rechnung nicht sehe.
 
 
30floh00 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: eigenvektorenberechnung
Das das eine ergebnis Falsch ist, ist mir klar.

Ich habe wie gesagt x1=u, x2=v eingesetzt

Daraus folgt: x3=0,5*((-u)+v)

daraus folg für mich: x=u(2/0/-1)^T + v(0/2/1)^T

aber worin besteht mein fehler, dass ich nicht das richtige ergebnis erhalte, obwohl ich meiner meinung nach alles richtig gemacht habe?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

x3=0,5*((-u)+v)

Naja, für u = 2 und v = 0 erhalte ich :

x3 = -1

also (2,0,-1)

Und für u = 0 und v = 2 erhalte ich

x3 = 1

also

(0,2,1)

Ich glaube du hast Schlicht das Vorzeichen nicht richtig betrachtet. Wahrscheinlich hast Du u = -2 gesetzt und dann (2,0,1) daraus "bestimmt" , was dann aber korrekter Weise (-2,0,1) sein muss. (Denn Du setzt ja u = -2, damit ist also die erste Komponente mit -2 festgelegt).
30floh00 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
(1/1/0)^T und (-2/0/1)^T


sind ja die richtigen ergebnisse.

Warum muss ich für u -2 einsetzen? selbst wenn würde es ja immer noch nicht mit den richtigen ergebnissen übereinstimmen...
30floh00 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
u = -2 gesetzt und dann (2,0,1)


sry ich habe im ersten Post das - vor der 1 vergessen, im zweiten stehts jedoch richtig.

Zitat:
daraus folg für mich: x=u(2/0/-1)^T + v(0/2/1)^T


Also praktisch die gleichen ergebnisse wie du hast.

Der eine Vektor stimmt ja aber der andere (0/2/1)^T passt da nicht rein, wenn die Lösung (1/1/0)^T vorgibt.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
wenn die Lösung (1/1/0)^T vorgibt.


Es gibt unendlich viele Lösungen der Eigenwertgleichung. Daher gibt es nicht "die" Lösung. Tatsächlich bilden die Eigenvektoren sogar einen Vektorraum, diesen Vektorraum nennt man auch Eigenraum. Der Vektorraum zum Eigenwert 1 ist in deinem Beispiel zweidimensional, welche Basis Du auswählst ist dir überlassen.

Auf den Vektor (1,1,0) kommt man, wenn man nur die erste Zeile betrachtet. Dort steht

1 -1 2 = 0

und man sieht sofort warum es klappt. Jeder der vier Vektoren

(2/0/-1)^T

(0/2/1)^T

(1/1/0)^T

(-2/0/1)^T

ist ein korrekter Eigenvektor zum Eigenwert 1. Das kannst Du ja auch immer leicht überprüfen , in dem Du sie in die Eigenvektorgleichung einsetzt (so wie ich es tat Augenzwinkern )
30floh00 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
(2/0/-1)^T (0/2/1)^T (1/1/0)^T


sind ja Linear unabhängige Lösungen. Ich dachte bei 2 unbekannten kommt man immer auf nur 2 linear unabhängige Lösungen.

Angenommen es währe nach dem maximalen system linear unabhängiger einheitsvektoren gefragt, müsste ich also 4 Lösungen bekommen wenn ich das jetzt so richtig sehe.

Und in der Lösung im Heft fehlt sozusagen eine wenn nur (1/-1/2)^T, (1/1/0)^T und (-2/0/1) dastehen...
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Zitat:
(2/0/-1)^T (0/2/1)^T (1/1/0)^T


sind ja Linear unabhängige Lösungen.


Ist das wirklich so ? Denk da nochmal drüber nach.

Zitat:
Angenommen es währe nach dem maximalen system linear unabhängiger einheitsvektoren gefragt, müsste ich also 4 Lösungen bekommen wenn ich das jetzt so richtig sehe.


Du sagst also, dass der vierdimensional ist?
30floh00 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ok das war eine unglückliche Formulierung meinerseits. Die drei Vektoren sind natürlich zusammen linear abhängig. Aber müssen nicht 2 dieser 3 Vektoren Linear abhängig sein um nur 2 Lösungen für den einen Eigenwert zu erhalten?

da steig ich jetzt noch nicht so ganz dahinter...
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber müssen nicht 2 dieser 3 Vektoren Linear abhängig sein um nur 2 Lösungen für den einen Eigenwert zu erhalten?


Mir ist nicht ganz klar worauf Du hinaus willst. Kannst Du das vielleicht anders formulieren?
30floh00 Auf diesen Beitrag antworten »

Also momentan hab ich laut dir die drei Eigenvektoren aus dem Eigenwert 1 und den einen Eigenvektor aus dem Eigenwert 7.

Da komm ich ja auf 4, es gibt aber nur 3 Lösungen...
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
es gibt aber nur 3 Lösungen...


Wie ich oben schon gesagt habe, es gibt sogar unendlich viele Lösungen. Die vier Lösungen sind alle richtig. Du kannst aber aus allen Lösungen höchstens 3 linear unabhängige Lösungen auswählen. Die Auswahl ist aber nicht eindeutig! Nimmst Du mehr als 3, sind sie immer linear Abhängig (da wir im R³ sind).
30floh00 Auf diesen Beitrag antworten »

aaaaaah!! jetz machts klick ;-)

also immer 3 lin. unabh. vektoren im R^3

Vielen Dank für die ausdauernde Hilfe :-)
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
also immer 3 lin. unabh. vektoren im R^3


Das ist so auch nicht richtig, die Betonung liegt auf höchstens 3 linear unabhängige Eigenvektoren. Es gibt Matrizen, bei denen es weniger linear Unabhängig Eigenvektoren als Spalten/Zeilen gibt. Du wirst solche Matrizen kennen lernen wenn es um Diagonalisierbarkeit geht. Augenzwinkern
30floh00 Auf diesen Beitrag antworten »

okay... also hört das nie auf...

danke trotzdem... einigen wir uns auf maximal 3 linear unabhängige Eigenvektoren im R^3
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
einigen wir uns auf maximal 3 linear unabhängige Eigenvektoren im R^3


Freude

Ganz genau. Ob man nun maximal oder höchstens sagt ist ja auch das selbe Augenzwinkern .
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