zyklische p-Sylowgruppe in|G|=2p^n

30.11.2011, 12:26	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
zyklische p-Sylowgruppe in\|G\|=2p^n Bestimmen Sie für $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p \in \mathbb{P} \setminus \{2 \} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 4 \nmid p-1 \end{eqnarray}$ alle Gruppen der Ordnung $\begin{eqnarray} 2p^n \end{eqnarray}$ mit zyklischer p-Sylowgruppe. Ich habe losgelegt mit $\begin{eqnarray} \left\| G \right\| = 2 \cdot p^n \end{eqnarray}$ und mit den Sylowsätzen erhalten, dass es nur eine p-Sylowgruppe geben kann. Dafür gibt es $\begin{eqnarray} \{1,p,p^2,...,p^{n-1}\} \end{eqnarray}$ 2-Sylowgruppen. Sätze, die ich dort zuordne: Jede Gruppe von Primzahlordnung ist zyklisch. Jede zyklische Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ ist isomorph zu $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ . Das direkte Produkt zweier zyklischer Gruppen $\begin{eqnarray} C_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C_m \end{eqnarray}$ ist genau dann zyklisch, wenn $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ teilerfremd sind. Kann ich damit irgendwie basteln, dass die p-Sylowgruppe direktes Produkt der gleichen Primzahl-Zyklischen-Gruppe (also nicht teilerfremder Zahlen) ist und in diesen Fällen nicht zyklisch ist? Oder ist es schlauer einen "Umweg" über eine abelsche Gruppe zu gehen? Mir fehlt irgendwie der richtige Weg...

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