differenzierbar auch stetig? |
| 30.11.2011, 16:35 | akamanston | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| differenzierbar auch stetig? bei wiki habe ich gelesen, dass jede funktion die differenzierbar ist, auch stetig ist. das habe ich mir mal genauer angeschaut. mit folgenden funktion f(x)= x^2 für x<1 f(x)= x^2 +1 für x>1 jetz möchte ich an der stelle x=1 mal auf differenzierbarkeit testen bei funktion haben 2x als ableitung. wenn ich x=1 einsetze dann habe ich die gleiche steigung. also folgere ich daraus, dass die funktion differenzierbar ist. die wiki behauptung besagt, dass die funktion dann auch stetig ist. dann teste ich das auch mal. ich vergleiche die grenzwerte miteinander bei x^2 x<1 kommt dann 1(-) (ein wert knapp unter 1)heraus und bei x^2 +1 x>1 kommt 1(+) +1 (wert knapp über 2) heraus. also ist die funktion nicht stetig. was ist da los? was mache ich falsch? kann es sein das mein fehler ist, dass ich auf einer seite >= machen muss? somit wäre der punkt x=1 auf der von mir bestimmten seite zumindest enthalten? das ändert aber doch nichts daran, dass der entscheidene grenzwert für die bestätigung der stetigkeit immer noch "falsch" ist. differenzierbar ist die funktion ja auf alle fälle. wie und wo wird die funktion dann stetig? oder ist die gar nicht differenzierbar? |
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| 30.11.2011, 16:37 | Huy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: differenzierbar auch stetig?
Warum nicht? MfG //e: Achso. Ich dachte, das seien zwei verschiedene Funktionen... |
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| 30.11.2011, 16:40 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: differenzierbar auch stetig?
Da diese Funktion für x=1 nicht definiert ist, kann man hier auch nicht von Stetigkeit oder Differenzierbarkeit sprechen. Vermutlich meintest du aber z. B. im ersten Teil "x <= 1". Die Funktion ist tatsächlich nicht stetig an dieser Stelle, aber auch nicht differenzierbar. Für Differenzierbarkeit bitte nicht einfach beide Seiten einzeln ableiten (es gibt keine Regel, die das hier erlaubt), sondern den Differentialquotienten bemühen. Der wird dir zeigen, dass die Funktion nicht differenzierbar ist. air |
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| 30.11.2011, 16:58 | akamanston | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: differenzierbar auch stetig?
in der schule mache nwir das immer so, wenn ich mich richtig erinnere. man hat da dann meistens eine neue funktion bestehend aus drei abstnitten, einmal größer, kleiner und bei x0. für die stetigkeit schauen wir uns die grenzwerte der beiden funktionen an. einmal von rechts einmal von links. ist der wert gleich, dann ist die funktion stetig. genau so machen wir es bei der differenzierbarkeit, aber mit der ableitung wir leiten beide funktionsteile ab und machen jetzt nicht den grenzwert sondern setzen x0 ein. dann wieder das gleiche spiel, ist der wert gleich, ist die funktion differenzierbar, sonst nicht. so läfut das doch ab, oder mache ich das schon falsch? |
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| 30.11.2011, 17:32 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: differenzierbar auch stetig?
Dieses Vorgehen ist auch korrekt: Wenn die Funktion z.B. auf den Intervallen [0,1] und [1,2] jeweils differenzierbar ist und dann noch die Ableitungen bei 1 übereinstimmen, ist die Funktion insgesamt in [0,2] differenzierbar. Diese Situation ist hier aber nicht gegeben. Egal wie du deine Funktion in 1 definierst, entweder wird sie von links oder von rechts nicht mehr differenzierbar in 1 sein (oder beides). |
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| 30.11.2011, 23:50 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: differenzierbar auch stetig?
Hört sich irgendwie gefährlich an. Eines der Intervalle müsste doch bei x=1 offen sein? |
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| 01.12.2011, 00:16 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f eingeschränkt auf [0,1] ist differenzierbar, also: Der linksseitige Limes existiert und ist gleich der Ableitung der Einschränkung von f auf [0,1]. f eingeschränkt auf [1,2] ist differenzierbar, also: Der rechtsseitige Limes existiert und ist gleich der Ableitung der Einschränkung von f auf [1,2]. Falls beide Ableitungen gleich sind, existiert demnach auch und ist nach Definition die Ableitung von f in 1. |
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| 01.12.2011, 00:19 | akamanston | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@juffo du beziehst dichschon auf meine funktionen oder? wieso wird das intervall eingeschränkt? das check gar net |
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| 01.12.2011, 00:42 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, mein letzter Post war nur eine Antwort auf Dopaps Einwand. Meine Antwort auf deine Frage steht in dem Post weiter oben. Einschränken einer Funktion heißt nur, dass man den Definitionsbereich verkleinert. (sich nur einen Teil des gesamten Definitionsbereiches ansieht) |
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