Grenzwert von x^n*lnx wobei n>0

30.11.2011, 18:26

Bueroklammer

Grenzwert von x^n*lnx wobei n>0

Meine Frage:
Guten Abend,

ich habe eine Frage zu dem folgenden Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^{n}*ln{x}; n>0 \end{eqnarray*}$

Über Hilfe und Anregungen wäre ich sehr dankbar!

Meine Ideen:
Mir ist bekannt, dass ich es zu einem Ausdruck umformen muss, auf welchen der Satz von L'Hospital anwendbar ist...
Wäre:

$\begin{eqnarray*} \frac{ln{x}}{x^{-n} } \end{eqnarray*}$

ein guter Ansatz?
Und jetzt beides getrennt nach x ableiten?

Die Lösung von 0 ist mir bekannt.. es geht mir um den Weg!

30.11.2011, 19:18

illywo

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RE: Grenzwert von x^n*lnx wobei n>0
Ja, dein Weg ist richtig.

Zähler und Nenner unabhängig voneinander nach x ableiten und dann noch einmal einen Grenzwert bilden. Denke nochmal über deine Lösung nach.

Gruß

30.11.2011, 20:05

Bueroklammer

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RE: Grenzwert von x^n*lnx wobei n>0
Vielen Dank für die Antwort!

Wenn ich nach x getrennt ableite ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x}}{-nx^{-n-1} } \end{eqnarray*}$

Umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{-nx^{n-1} }{x} \end{eqnarray*}$

Umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} -nx^{n-2} \end{eqnarray*}$

Ist da soweit korrekt?

Warum ist der Grenzwert von 0 nicht korrekt?
Ich habe es bereits bei Wolfram alpha eingegeben und mir wurde dieser Grenzwert ausgegeben.. zudem ist in der Altklausur auch diese Lösung angeben (die Lösung ist jedoch nicht vom Professor!)

30.11.2011, 21:31

Bueroklammer

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RE: Grenzwert von x^n*lnx wobei n>0
Wolfram Alpha gibt folgende Lösung aus:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim...E0%29+x%5En*lnx

--> Grenzwert = 0

01.12.2011, 18:29

Bueroklammer

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RE: Grenzwert von x^n*lnx wobei n>0
Weiß hier niemand mehr weiter?

01.12.2011, 18:44

HAL 9000

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Umformungsfehler

Zitat:

Original von Bueroklammer
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x}}{-nx^{-n-1} } \end{eqnarray*}$

Umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{-nx^{n-1} }{x} \end{eqnarray*}$

Es ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{-n-1}} = \frac{1}{x^{-(n+1)}} = x^{n+1} \end{eqnarray*}$ ,

also nicht $\begin{eqnarray*} x^{n-1} \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Und der Vorfaktor $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bleibt im Nenner, wandert also nicht in den Zähler (wie bei dir). unglücklich

01.12.2011, 19:22

Bueroklammer

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RE: Umformungsfehler
Vielen Dank für die Antwort!

Ich habe noch eine Frage zu der Umformung:

Wie kommst du auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{-n-1}} \end{eqnarray*}$

Die Ableitung von

$\begin{eqnarray*} x^{-n} \end{eqnarray*}$

ist doch:

$\begin{eqnarray*} -nx^{-n-1} \end{eqnarray*}$

Und wenn man dann das x von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ runter holt ergibt sich doch:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x(-nx^{-n-1}) } \end{eqnarray*}$

oder?

Wie hast du das jetzt umgeformt?

03.12.2011, 12:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Bueroklammer
Wie kommst du auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{-n-1}} \end{eqnarray*}$

Sehr seltsame Frage: DU bist doch darauf gekommen!!! Ich beziehe mich ausschließlich auf diese deine Umformung

Zitat:

Original von Bueroklammer
Wenn ich nach x getrennt ableite ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x}}{-nx^{-n-1} } \end{eqnarray*}$

Umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{-nx^{n-1} }{x} \end{eqnarray*}$

und NUR auf diese! Und da hast du eben bei der x-Potenz den Exponenten falsch umgeformt. unglücklich

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