Binomischer Satz 4 variablen^10 Koeffizienten benennen.

30.11.2011, 19:57

Underfaker

Binomischer Satz 4 variablen^10 Koeffizienten benennen.

Hallo zusammen.

Wir haben im Moment das Thema zählen / Kombinatorik.

In diesem Zusammenhang haben wir auch den binomischen Satz gehabt.

In einer Aufgabe sollen wir nun leider mit 4 variablen und mit dem Exponenten 10 rechnen und einen bestimmten Koeffizienten benennen.

Als Tipp war angegeben zuerst die ersten beiden und dann die anderen beiden anzusehen, also:

$\begin{eqnarray*} (w+x+y+z)^{10} \end{eqnarray*}$ wie ist der Koeffzient des Terms $\begin{eqnarray*} w^{2}xy^{3}z^{4} \end{eqnarray*}$ ?

Dann stand halt als Zusatz ein Hinweis, man solle sich zu erst ansehen welchen Exponenten $\begin{eqnarray*} (w+x)^{3}(y+z)^{7} \end{eqnarray*}$ hat. Wobei ich dachte, dass das womöglich ein Fehler war.

Ich habe also diese beiden Teile in den binomischen Satz eingesetzt.

das ergab für den ersten Teil:
$\begin{eqnarray*} w^{3}+3w^{2}x+3wx^{2}+x^{3} \end{eqnarray*}$

und für den zweiten:

$\begin{eqnarray*} y^{7}+7y^{6}z+21y^{5}z^{2}+35y^{4}z^{3}+35y^{3}z^{4}+21y^{2}z^{5}+7yz^{6}+z^{7} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt komme ich allerdings nicht sinnvoll weiter, wie kann ich denn diese beiden so kombinieren, damit am Ende auch ein korrekter Bezug zum Anfang (mit dem Exponenten 10) entsteht.

Wären das gleiche Basen so könnte man sie ja multiplizieren und bekäme den Exponenten 10 (3+7) das ist hier ja nicht der Fall.

Hat jemand einen Ratschlag für mich?
Das wäre wirklich super, danke schonmal :-)

01.12.2011, 16:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von Underfaker
Dann stand halt als Zusatz ein Hinweis, man solle sich zu erst ansehen welchen Exponenten $\begin{eqnarray*} (w+x)^{3}(y+z)^{7} \end{eqnarray*}$ hat. Wobei ich dachte, dass das womöglich ein Fehler war.

Im richtigen Bezug ist das gewiss kein Fehler. Und dieser Bezug lautet

$\begin{eqnarray*} (w+x+y+z)^{10} = ((w+x)+(y+z))^{10} = \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} (w+x)^k (y+z)^{10-k} \end{eqnarray*}$ ,

was speziell für $\begin{eqnarray*} k=3 \end{eqnarray*}$ den Summanden

$\begin{eqnarray*} \binom{10}{3} (w+x)^3 (y+z)^7 = 120(w+x)^3 (y+z)^7 \end{eqnarray*}$

ergibt.

01.12.2011, 18:53

Underfaker

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(Zu dem Fehler: Ich dachte statt Exponent müsse Koeffizient dort hin, mir leuchtet jedoch ein was du gemacht hast :-))

Ist es denn auch ausreichend, wenn ich nun meinen Teil mit deinem kombiniere?

Ich habe ja bereits einen Teil eingegeben, wenn ich da den gefragten Teil aus beiden Termen miteinander multipliziere kommt da der Koeffizient 105 raus, was natürlich dann noch mit der 120 multipliziert werden muss, denn in der Tat kommt dann die korrekte Lösung raus.

Ich ginge also her:
Erster Term:
$\begin{eqnarray*} 3w^{2}x \end{eqnarray*}$
kombiniert mit zweitem Term:
$\begin{eqnarray*} 35y^{3}z^{4} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 105w^{2}xy^{3}z^{4} \end{eqnarray*}$

Und nun mit dem Faktor 120 multipliziert = 12600

Dürfte das zum korrekten Lösen der Aufgabe genügen?

Vielen Dank schonmal =)

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