Komplexe Zahlen - Quadratische Gleichung

30.11.2011, 20:21

DerLaborant

Komplexe Zahlen - Quadratische Gleichung

Hallo Leute!
Ich möchte folgende Gleichung lösen:
$\begin{eqnarray*} z^{4} -3z^{2} +9=0 \end{eqnarray*}$
Habe nun z substituiert, sodass $\begin{eqnarray*} z^{2} =x . \end{eqnarray*}$
Habe für x folgende Lösungen bekommen:
$\begin{eqnarray*} x_{1} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{27}}{2 }\cdot i \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \wedge x_{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{27}}{2 }\cdot i \end{eqnarray*}$
Nun muss ich ja wenn ich rücksubstituiere die Wurzel aus diesen Zahlen ziehen.
Das habe ich für die erste Lösung getan und komme auf:
$\begin{eqnarray*} z_{1}= \sqrt{3} \cdot e^{\frac{\pi }{6} } \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} z_{2}= \sqrt{3} \cdot e^{\frac{\pi }{6}+\pi } \end{eqnarray*}$

Kann ich nun die Wurzeln der 2.Lösung daraus ableiten oder muss ich diese nochmal separat berechnen?
(p.s.: Bitte korrigiert mich, wenn ich falsch gerechnet habe)

LG DerLaborant

30.11.2011, 20:53

original

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RE: Komplexe Zahlen - Quadratische Gleichung
Freude

du hast richtig gerechnet..

und da bei der zweiten Lösung x nur der Winkel um pi grösser ist,
kannst du die beiden fehlenden Lösungen z aus den schon gefundenen herleiten..

siehst du, wie?

01.12.2011, 00:53

Dopap

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RE: Komplexe Zahlen - Quadratische Gleichung

Zitat:

Original von original

... und da bei der zweiten Lösung x nur der Winkel um pi grösser ist,

Würde sagen, dass x2 das Konjugierte von x1 ist und demnach das Argument ( Winkel ) von x2 das negative Argument von x1 hat verwirrt

Ansonsten wie vorher...

01.12.2011, 16:04

DerLaborant

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RE: Komplexe Zahlen - Quadratische Gleichung
d.h. meine weiteren Lösungen wären dann ..
$\begin{eqnarray*} z_{3}=\sqrt{3} \cdot e^{-\frac{\pi \cdot i}{6} } \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} z_{4}=\sqrt{3} \cdot e^{-\frac{\pi \cdot i}{6} -\pi } \end{eqnarray*}$ oder?

01.12.2011, 19:20

original

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RE: Komplexe Zahlen - Quadratische Gleichung

Zitat:

Original von DerLaborant
d.h. meine weiteren Lösungen wären dann ..
$\begin{eqnarray*} z_{3}=\sqrt{3} \cdot e^{-\frac{\pi \cdot i}{6} } \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} z_{4}=\sqrt{3} \cdot e^{-\frac{\pi \cdot i}{6} -\pi } \end{eqnarray*}$ oder?

beim Exponenten bei z4 solltest du noch etwas verbessern ..
........... sonst richtig.

"positive" Darstellungsvariante:

$\begin{eqnarray*} z_{3}=\sqrt{3} \cdot e^{\frac{11\pi \cdot i}{6} } \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} z_{4}=\sqrt{3} \cdot e^{\frac{5\pi \cdot i}{6} } \end{eqnarray*}$

@Dopap
danke für den Hinweis;
es sollte richtig
"... und da bei der zweiten Lösung x nur der Winkel um 4pi/3 grösser ist," heissen..
aber dein Hinweis auf "konjugiert komplex" ist hier natürlich viel besser.

.

04.12.2011, 17:41

DerLaborant

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RE: Komplexe Zahlen - Quadratische Gleichung
Hey .. kannst Du mir sagen was der Fehler ist bei z4? .. ich komm nicht drauf -.-

04.12.2011, 18:04

original

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RE: Komplexe Zahlen - Quadratische Gleichung
wer hat denn behauptet, dass bei z4 ein Fehler sei ?

04.12.2011, 18:32

DerLaborant

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RE: Komplexe Zahlen - Quadratische Gleichung
ich habe das verbessern als korrigieren aufgefasst ..

04.12.2011, 18:45

Dopap

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alle Lösungen nochmals zusammen und nach positiven Winkeln sortiert:

$\begin{eqnarray*} z=re^{i\phi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt 3 \land \phi \in \{ \frac \pi 6 , \frac {5\pi}{6}, \frac {7\pi}{6},\frac {11\pi}{6} \} \end{eqnarray*}$

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