Zerfallsgesetz

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Kevin-357 Auf diesen Beitrag antworten »
Zerfallsgesetz
Meine Frage:
Hallo!

Ich habe folgende Aufgabe:

Seien A,B zwei radioaktive Nuklide und B das Zerfallsprodukt von A,
d.h. B wird neu gebildet mit einer Rate, die der Zerfallsrate von A entspricht.

Es gilt das Zerfallsgesetz:
Zerfallsrate (Zeitliche Änderung der Stoffmenge) ~ Stoffmenge

Stellen Sie ein System von Differentialgleichungen für die Stoffmengen und auf und bestimmen Sie die allgemeine Lösung bei vorgegebenen Anfangswerten zum Zeitpunkt t=0.


Meine Ideen:
Ich habe ein Problem das DGL-System aufzustellen. Die 1. Gleichung für Nuklid A ist klar:

Bei der Gleichung für Nuklid B bin ich mir nicht sicher, ist es:

(i)
(ii)
(iii)

Ich muss ja zum einen berücksichtigen, dass B ebenfalls dem Zerfallsgesetz unterliegt aber andererseit durch den Zerfall von A neugebildet wird.

Bei lösen von Gleichung (i) und (ii) ist das Problem, dass der Startwert von vor der Gleichung steht, d.h. wenn zum Zeitpunkt t=0 kein Nuklid B vorhanden sein sollte, dann ist auch die ganze Gleichung 0... Das macht ja wenig Sinn, da B durch Zerfall von A neugebildet wird. Deshalb spricht einiges für Gleichung (ii) allerdings habe ich hier das Problem, dass der Zerfall des Neugebildeten nicht berücksichtigt wird...

Ich hoffe ihr konnten meinem Gedankengang einigermaßen folgen und mir vielleicht weiterhelfen.


Kevin
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich mache dir mal eine Heuristische Überlegung den Rest bekommst du selbst hin.

Seien die Zerfallsraten von den jeweiligen Nukilden A bzw. B
und die Stoffmenge dieser Nuklide.

Mit Zeitintervall ist die Stoffmengenänderung gemäss Annahme für Nukild A gegeben durch

Also Veränderung ist proportional zur Stoffmenge im jeweiligen Intervall

Analog für Stoff B

Die Veränderung besteht aus dem Zerfall und dem was bei A verschwindet, also bei B hinzukommt

Damit solltest du die DGLs herleiten und lösen können.

mfg
Kevin-357 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Sergej,

danke schonmal für deine Antwort! Erstmal eine Frage: Wie kann ich das "d" in deinen Gleichungen deuten? Ich kann mir nur was unter "d/dt" vorstellen.

Deine Überlegungen führen mich genau auf meine Differnentialgleichung (ii). Stimmt das soweit?

Wenn ich diese löse, erhalte ich Folgendes

Für Nuklid A:

Für Nuklid B:

A und B sind dabei die Ausgangswerte zum Zeitpunkt t=0.

Mein Problem ist jetzt, wenn B=0 ist, d.h. zum Zeitpunkt t=0 kein Nuklid B vorhanden ist, dann fällt der erste Summand der Gleichung weg und ich habe eine Gleichung, die nur noch von Nuklid A abhängt- das ergibt für mich keinen rechten Sinn. Verstehst du, was ich meine? Und sind die Gleichungen soweit richtig?

Viele Dank!

Kevin
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

da du nicht verrätst was sein soll, sage ich zu deinen Gleichungen nein.
Du solltest mit schon auskommen.

Dachte, da das Thema physikalisch motiviert ist benutze ich gängige Notationen von dort. So kann man sich das d als Veränderung der Funktion vorstellen. Und entsprechend dt als kleine Zeitveränderung. "Teilst" du dann durch dt, kommt was schönes raus.

Alternativ kannst du dir damit aber auch direkt die DGLs überlegen.

mfg
Kevin-357 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Sergej,

dann erkläre ich dir mal, wie ich auf die Gleichungen gekommen bin.

Wenn ich deine Gleichung durch "teile", erhalte ich .

Aus deiner zweiten Gleichung folgt dann und wenn ich jetzt wieder durch "teile", erhalte ich .

Also das DGL-System, das ich mir auch schon überlegt hatte.

Was meinst du mit ? Das habe ich doch nirgends verwendet.
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

DIe jetztige DGL passt.

Aber bei deinen 3 Vorschlägen steht dennoch ein was fehl am platze ist.

mfg
 
 
Kevin-357 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, das meintest du. Das war nur ein Tippfehler, entschuldige.

Danke für Deine Hilfe!
Kevin-357 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Sergej,

ich habe mir nochmal etwas überlegt. In meinen Differentialgleichungen und in deiner heuristischen Überlegung, haben wir nicht berücksichtigt, dass auch das neugebildete Nuklid B anschließend wieder zerfällt. Also müsste das DGL-System nicht eigentlich so aussehen:




Kevin
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kevin-357

Aus deiner zweiten Gleichung folgt dann und wenn ich jetzt wieder durch "teile", erhalte ich .


Doch das hast du doch hier bereits geschrieben. ISt doch dieselbe DGL.

mfg
Kevin-357 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ist es nicht...

Ich meine: , nicht:

Die Klammern habe ich gesetzt, weil das neugebildete Nuklid B, das durch den Zerfall von A entsteht, ja ebenfalls dem Zerfallsgesetz unterliegt.

Das ganze sieht man recht gut, wenn man die DGL löst. Die Lösung war: .
Wenn jetzt zum Zeitpunkt t=0 kein Nuklid B vorhanden ist, d.h. B=0 ist, dann beschreibt die Funktion lediglich den Zuwachs durch A und würde ins Unendliche steigen.

Verstehst du, was ich meine oder habe ich irgendwo einen Denkfehler?
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry ich meinte naturlich


mfg
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