Konvergenz einer Folge bestimmen

30.11.2011, 21:37

Gast89

Konvergenz einer Folge bestimmen

Meine Frage:
Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} (a_n) = (\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1}) \rightarrow a = 1 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Hallo,

also, ich bin hingegangen und habe mir folgendes (nach der Definition von Konvergenz) gedacht:

$\begin{eqnarray*} |a_n - a| < \epsilon \Leftrightarrow |\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1} - 1| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Doch mein Problem ist: wie löse ich das jetzt auf? Aus der Übungsstunde dämmert mir noch, dass ich den Ausdruck nach n auflösen muss und dann das Epsilon irgendwie wählen muss, dass es bewiesen wird.
Wie genau das geht verstehe ich noch nicht so ganz!

Ich würde mich über Hilfe riesig freuen :-(

Gruß,
Lukas

30.11.2011, 21:46

Mulder

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RE: Konvergenz einer Folge bestimmen
Du musst zeigen, dass es ein n gibt, so dass die Ungleichung erfüllt ist, ja (die Monotonie der Folge liefert dann den Rest). Nach n aufzulösen ist ein guter Anfang. Mach das doch einfach mal. Oder wo hakt es?

30.11.2011, 21:52

Gast89

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Hallo Mulder,

dass ich irgendwie nach n auflösen muss und die Ungleichung bestätigen muss ist mir mehr oder weniger klar, aber: wie löse ich denn die Ungleichung rein technisch nach n auf?

Gruß,
Lukas

30.11.2011, 21:58

Mulder

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$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1} = \frac{\sqrt{n}+1-2}{\sqrt{n}+1} \end{eqnarray*}$

Wenn du den Bruch nun passend auseinander ziehst, vereinfacht sich das Ganze erheblich.

30.11.2011, 22:00

Gast89

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Hey,

und was soll jetzt einfacher sein? Kürzen kann ich ja immer noch nicht!

Gruß,
Lukas

30.11.2011, 22:06

Mulder

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RE: Konvergenz einer Folge bestimmen
Wenn ich jetzt die Zeit, die du für's Lesen und Antworten benötigt hast, abziehe, wird die Zeit, die du darüber nachgedacht hast, wohl so etwa 30 Sekunden betragen. Vielleicht wirfst du mal einen Blick auf das Boardprinzip, ich knalle hier keine Komplettlösungen hin, es ist deine Aufgabe. Ich helfe dir gerne dabei, aber wenn von dir gar nichts kommt, funktioniert das nicht.

Hier ist ganz elementares Bruchrechnen gefragt, das du seit der sechsten Schulklasse eigentlich beherrschen solltest.

30.11.2011, 22:19

Gast89

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Hallo Mulder,

Du vergisst bei Deiner Rechnung, dass ich mir jetzt schon eine gehörgie Zeit den Kopf darüber zerbrochen habe, wie ich diese Aufgabe löse und ein Paar Dinge schon ausprobiert habe.

Nun gut. Der Bruch ist das eine. Aber bevor ich damit aktiv werde sind doch noch folgende Fragen zu klären:

* Kann ich die Betragsstriche einfach so (d.h. ist a(n) - 1 immer positiv) weglassen?
* Wie bekomme ich die eins da weg?

Denn wenn ich mit dem Nenner durchmultipliziere, habe ich wieder zwei verschiedene Ausdrücke da stehen.

Irgendwie scheint mir das alles noch nicht ganz klar zu sein.

Machen wir es doch so: natürlich will ich die Aufgabe alleine lösen (zumindest ansatzweise), denn sonst habe ich ja in der Prüfung nichts davon - ich muss es ja verstehen. Kennt Ihr nicht ein "gutes" Tutorial, wo jemand eine solche Aufgabe exemplarisch löst (also mit Epsilontik und so)? Und wenn ihr mir dann noch erklärt, wie ich diesen Bruch vereinfache, dann müsste ich ja beides zusammenwerfen können und auf eine Lösung kommen.

Gruß,
Lukas

P.S.: Es tut mir leid, wenn ich etwas zu schnell war. Aber wenn man seit einiger Zeit an dieser Aufgabe sitzt, wird man irgendwie verrückt!

P.S.S.: Ich lasse jetzt mal Mathe Mathe sein und sag' gute Nacht! Vielleicht fällt mir eine Lösung morgen früh einfacher :-)

30.11.2011, 22:28

Mulder

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Zitat:

Original von Gast89
Du vergisst bei Deiner Rechnung, dass ich mir jetzt schon eine gehörgie Zeit den Kopf darüber zerbrochen habe, wie ich diese Aufgabe löse und ein Paar Dinge schon ausprobiert habe.

Nur stand dir in dieser Zeit ja - denke ich mal - der Ansatz, den ich dir gegeben habe, nicht zur Verfügung. Und ich hätte mir eben gewünscht, dass du diesem Ansatz etwas Zeit widmest, anstatt gleich aufzugeben. Und dass man einer Aufgabe auch mal etwas mehr Zeit widmen muss, ist doch völlig normal. Wie schon gesagt: Wir sind hier bei ganz elementarem Bruchrechnen. Also dann jetzt doch noch ein weiterer Schritt (ich hatte doch gesagt, zieh den Bruch auseinander):

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1} = \frac{\sqrt{n}+1-2}{\sqrt{n}+1} = \frac{\sqrt{n}+1}{\sqrt{n}+1}-\frac{2}{\sqrt{n}+1} = 1 -\frac{2}{\sqrt{n}+1} \end{eqnarray*}$

Und so steht da insgesamt also

$\begin{eqnarray*} \bigg \vert 1 -\frac{2}{\sqrt{n}+1} -1 \bigg \vert < \epsilon \end{eqnarray*}$

Das lässt sich doch nun offensichtlich sehr vereinfachen, oder? Und dann mach dir mal Gedanken, wie man die Beträge loswerden könnte.

Es ist natürlich nichts dagegen einzuwenden, Feierabend zu machen. Das Forum ist morgen auch noch da. Und es hat ja auch seinen Grund, dass man für diese Übungszettel im Allgemeinen immer eine volle Woche Zeit hat.

01.12.2011, 07:39

Gast89

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Hallo Mulder,

nun zunächst: Respekt für Dein "Engagement" noch zu so später Stunde! Leider scheint es bei mir genetisch veranlagt zu sein, dass ich gerne sehr schnell aufgebe, wenn der allgemeine Nutzen gegen null geht.

Trotzdem habe ich mal weitergerechnet:

$\begin{eqnarray*} |-\frac{2}{\sqrt{n}+1}| < \epsilon \end{eqnarray*}$

D.h., da der Ausdruck im Betrag immer negativ ist, muss folgendes gelten:

$\begin{eqnarray*} -(-\frac{2}{\sqrt{n}+1}) < \epsilon \end{eqnarray*}$

Und wenn ich das auflöse und schließlich quadriere, komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} n < (\frac{1}{2}\epsilon-1)^2 \end{eqnarray*}$

Nun und wenn ich das oben einsetze, komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} |-\frac{2}{\frac{1}{2}\epsilon-1+1}| = \frac{4}{\epsilon} < \epsilon \end{eqnarray*}$

Nun, diese Aussage würde ja zeigen, dass es stimmt, denn vier durch epsilon ist immer kleiner als epsilon. Nur weiß ich nicht, ob ich einfach das Ergebnis für n einsetzen darf, da ja da steht, dass n kleiner als dieser Ausdruck sein soll.

Beste Grüße,
Lukas

01.12.2011, 12:34

Mulder

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Du hast da falsch nach n aufgelöst. Da die Rechenschritte fehlen, weiß ich nicht, wo der Fehler liegt. Rechne nochmal, würde ich sagen.

Zitat:

da ja da steht, dass n kleiner als dieser Ausdruck sein soll.

Ja, spätestens da sollte man stutzig werden. Macht ja irgendwie keinen Sinn.

02.12.2011, 08:46

Gast89

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Hallo,

so habe ich gerechnet:

$\begin{eqnarray*} |1-\frac{2}{\sqrt{n}+1}-1| < \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |-\frac{2}{\sqrt{n}+1}| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Laut Definiton des Berags:
$\begin{eqnarray*} -(-\frac{2}{\sqrt{n}+1}) < \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sqrt{n}+1} < \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}+1} < \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n}+1 < \frac{2}{\epsilon} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n} < \frac{2}{\epsilon}-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n < (\frac{2}{\epsilon}-1)^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste es stimmen. Ich htatte zwar durch 2 dividiert, dann aber vergessen, dass im Zähler ja noch 1 stehen bleibt.

Und wo muss ich was jetzt einsetzten, um den Beweis zu kompletieren?

Gruß,
Lukas

02.12.2011, 09:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von Gast89
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}+1} < \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n}+1 < \frac{2}{\epsilon} \end{eqnarray*}$

Diese Umformung ist falsch, wie man auch leicht mit n=4 und epsilon = 1 sieht. Augenzwinkern

02.12.2011, 12:11

maths_1

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kann man b_n und c_n auch irgendwie abschätzen oder mit dem epsilon kriterium berechnen?
hab es jetzt auch über die logharitmus definition gemacht. verwirrt

ich hoffe das wird so akzeptiert, zumindest steht der beweis im script (es wurde uns gesagt, alles was im script bewiesen ist und in der vorlesung dran kam dürfen wir verwenden)

dennoch, meine frage bleibt: kann man es über das epsilon kriterium machen oder über die abschätzung? als untere schranke für $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ hätte ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ \sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ gewählt. aber eine obere schranke verwirrt

ich hoffe ich bekomme eine antwort :-)

02.12.2011, 12:13

klarsoweit

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Zitat:

Original von maths_1
kann man b_n und c_n auch irgendwie abschätzen oder mit dem epsilon kriterium berechnen?

Ähh, ja, ich sehe hier kein b_n oder c_n. verwirrt

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