vermutlich divergente Reihe

30.11.2011, 22:38

Eisvogel

vermutlich divergente Reihe

Meine Frage:
huhu! ich soll entscheiden, ob diese reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$ konvergiert oder nicht

Meine Ideen:
hab leider nur eine grafische darstellung, und da sieht es nicht so aus....

30.11.2011, 22:40

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: vermutlich divergente Reihe
Versuch mal, eine divergente Minorante zu finden.

30.11.2011, 22:49

Eisvogel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: vermutlich divergente Reihe
da bin ich noch nicht ganz sicher drin (kam gestern erst dran in der vorlesung). Du meinst doch damit, dass ich eine 2. reihe finden muss, die divergent ist und für die gilt:

$\begin{eqnarray*} 0\leq a_n \leq b_k \end{eqnarray*}$ ab einem $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , heißt das, das dies für die ersten endlichen folgeglieder $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n \text{ für ein} ~k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ nicht gelten muss? also dies: $\begin{eqnarray*} 0\leq a_n \leq b_n \end{eqnarray*}$ ?

30.11.2011, 22:52

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: vermutlich divergente Reihe

Zitat:

Original von Eisvogel
heißt das, das dies für die ersten endlichen folgeglieder $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n \text{ für ein} ~k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ nicht gelten muss?

Ja, endlich viele Folgenglieder können am Konvergenzverhalten nichts ändern.

Aber hier ist das eigentlich gar nicht so problematisch. Es läuft hier eigentlich auf eine sehr populäre Minorante hinaus. Was für bekannte Reihen kennst du denn so?

30.11.2011, 22:57

Eisvogel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: vermutlich divergente Reihe
danke.

hmm also ich kenn die geometrischee reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty aq^n \end{eqnarray*}$ und die harmonische reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und die eulersche reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$

30.11.2011, 22:58

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: vermutlich divergente Reihe
Bei der ersten meinst du wohl "geometrische Reihe".

Tja, die passende ist doch schon dabei. Welche wäre denn passend?

30.11.2011, 22:59

RedNaxela22

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja da ist die richtige schon dabei! Mit was kannst du den die Wurzel abschätzen?

30.11.2011, 23:01

Eisvogel

Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde mit ziemlich hoher sicherheit die hier $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty aq^n \end{eqnarray*}$ sagen, stimmt das? smile

30.11.2011, 23:05

Eisvogel

Auf diesen Beitrag antworten »

weil die nämlich divergiert

30.11.2011, 23:14

Eisvogel

Auf diesen Beitrag antworten »

aber moment $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty aq^n \end{eqnarray*}$ divergiert ja nur für |q|>1... aber dann ist diese reihe ja immer größer als $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$ . dann ist diese also falsch?

30.11.2011, 23:15

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die 33% Chance ging daneben. Also was anderes nehmen.

Und noch eine Anmerkung: Die Reihe divergiert natürlich auch für |q|=1.

30.11.2011, 23:32

Eisvogel

Auf diesen Beitrag antworten »

hihi stimmt smile

dann ist es totsicher die: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ smile

stimmt die divergiert ja auch, nur $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ konvergiert, so rum wars....

also muss ich nach dem minorantenkriterium jetzt dies zeigen, $\begin{eqnarray*} 0\leq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \leq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$ oder?

mach ich das so (reine intuition), dass die summen erst bis n laufen lasse (und als laufindex dann halt k oder so nehme) dann irgwie umform und dann mit glück etwas das steht, dass ich nach unednlich schicken kann? (weil die summen ja bis unendlich gehen)?

30.11.2011, 23:37

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Eisvogel
stimmt die divergiert ja auch, nur $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ konvergiert, so rum wars....

Stimmt doch gar nicht.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{an} \end{eqnarray*}$

konvergiert immer, egal was a ist. 1/a kannst du ja vor die Summe ziehen und "1/a mal unendlich" ist immer noch unendlich.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \leq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$

Das ist zu zeigen. Und das sollte doch kein Problem sein.

30.11.2011, 23:46

Eisvogel

Auf diesen Beitrag antworten »

ja stimmt jetz wo ichs schriftlich probiert hab und nicht nur theoretisch war es echt leicht.

danke euch!

Neue Frage »

Antworten »

vermutlich divergente Reihe

Verwandte Themen