Kartesische Einheitsvektoren dargestellt in anderen Systemen |
| 01.12.2011, 12:05 | Nixraff | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Kartesische Einheitsvektoren dargestellt in anderen Systemen Erstmal was ich verstanden habe: Ich erhalte einen Einheitsvektor einer neuen Koordinate als Linearkombination meiner kartesischen Einheitsvektoren indem ich mir den Ortsvektor r, der als Linearkombination von kartesischen Einheitsvektoren, deren Koeffizienten Funktionen der neuen Koordinaten sind vorknöpfe und ihn nach der jeweiligen neuen Koordinate ableite. Anschließend muss er auf die Länge 1 gebracht werden, was leicht ist, da er ja in kartesischen Koordinaten vorliegt und die Länge hier einfach über den Pythagoras zu bestimmen ist. Beispielsweise in Zylinderkoordinaten: Der Ortsvektor als Linearkombination der kartesischen Einheitsvektoren mit Koeffizienten, welche Funktionen der neuen Koordinaten sind lautet: r = r*cos(phi)*ex + r*sin(phi)*ey + z*ez Die Ableitung von r nach r wäre nun zB: cos(phi)*ex + sin(phi)*ey + 0*ez Deren Länge krieg ich übern Pythagoras mit (cos(phi)^2 + sin(phi)^2)^(1/2) = 1 Und wenn ich nun die Ableitung von r nach r durch die errechnete Länge teile, erhalte ich den Einheitsvektor er als linearkombination meiner kartesischen Einheitsvektoren: er = cos(phi)*ex + sin(phi)*ey Nun möchte ich den anderen Weg gehen und weis irgendwie nicht so recht wie ichs angehen soll. Vorallem wenn ich einen Vektor als Linearkombination der zylindrischen Einheitsvektoren normieren soll, steh ich ziemlich ratlos da. Was ich haben möchte ist die Darstellung der kartesischen Einheitsvektoren ex, ey und ez als linearkombination der zylindrischen Einheitsvektoren er, ephi und ez, deren Koeffizienten Funktionen der zylinderkoordinaten sein sollen. Um beim Beispiel zu bleiben, ich suche eine Rechnung, beziehungsweise das abstrakte Vorgehen, um zu erhalten ex = cos(phi)*er - sin(phi)*ephi ey = sin(phi)*er + cos(phi)*ephi ez = ez Wie komm ich dahin? |
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