Punkt in Ebene

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01.12.2011, 12:33

IzeCube

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Punkt in Ebene

Hello

Ich mal wieder! Freude

Folgende Aufgabe:

Eine Ebene E geht durch den Punkt P(2|-5|7) und hat den Normalvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Prüfen Sie, ob die folgenden Punkte in der Ebene E liegen.

a) A (2|7|1)

Meine Überlegung war jetzt, dass ich mir die Normallform der Ebene nehme, also:
$\begin{eqnarray*} E:\vec{n} X (\vec{x} -\vec{p}=0 \end{eqnarray*}$
(Das X steht hier für dieses Sternchen der Skalarmultiplikation.)

Und jetzt erst mal einsetze was ich habe, also:
E:\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}X(\begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 7 \end{pmatrix})=0

Und jetzt häng ich ein wenig bei der Skalarprodukt (Ich war leider nicht da, als das gemacht wurde).
Dabei muss ich doch einfach alles mit allem Mal nehmen, oder?
Also:

2*0 2*12 2*8
1*0 1*12 1*8
-2*0 -2*12 -2*8

0 24 16
0 12 8
0 -24 -18 So und jetzt einfach zusammen rechnen? Also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 40 \\ 20 \\ -42 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Wenn ja, dann ist das ungleich 0, also ist der Punkt nicht in der Ebene?

01.12.2011, 12:52

opi

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Beachte das Minus in Deiner Ebenengleichung:

$\begin{eqnarray*} E:\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\cdot \left[\begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}{\color{red}-}\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 7 \end{pmatrix}\right]=0 \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis der Skalarmultiplikation ist ein Skalar. Eine Zahl, kein Vektor. Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} =1\cdot 4+2\cdot 5+3\cdot 6=32 \end{eqnarray*}$

01.12.2011, 13:21

IzeCube

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Oh hatte mich bei der subtraktion mit einer Zahl vertan.

Also ich hab jetzt als Ergebnis von dem Skalarprodukt 24 raus und das ist doch nicht = 0 verwirrt

Dementsprechend ist der Punkt nicht auf der Ebene?

01.12.2011, 13:30

opi

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Das kommt natürlich darauf an, was Du unter "normaler Multiplikation" verstehst.

Zitat:

Oder nimmt man nur die gleichen alle Mal?

Klingt besser als "alles mit allem". Augenzwinkern

Hier wird es formal richtig notiert.

01.12.2011, 13:42

IzeCube

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Hups, bis ich es mal richtig editiert hatte warst du schon schneller ^^
Sorry

01.12.2011, 13:51

opi

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Nun ist es richtig. 24 stimmt, ebenso der Schluß, daß der Punkt nicht in der Ebene liegt.

Ein neuer Beitrag ist oft besser als das Editieren von zurückliegenden Beiträgen. Fällt besser auf. Augenzwinkern

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