Wie kann ich folgende Formel umformen?

01.12.2011, 16:50

engelchen375

Wie kann ich folgende Formel umformen?

Meine Frage:
hallo smile

wie komme ich von der Formel

$\begin{eqnarray*} T_{n+1} - T_{n} = a (T_{n} - T_{U}) \end{eqnarray*}$

auf die Formel

$\begin{eqnarray*} T_{n} = (T_{0} - T_{U}) * b^{n} + T_{U} ?? \end{eqnarray*}$

T_{n} = Körpertemperatur
T_{U} = Umgebeungstemperatur
a Proportionalitätsfaktor
b Abkühlungsfaktor b := 1+a

Meine Ideen:
meine Ansätze waren erstmal a durch b zu ersetzen. dann $\begin{eqnarray*} T_{n+1} \end{eqnarray*}$ auf die andere seite holen. dann alles geteilt durch -1 damit nur noch auf der linken seite $\begin{eqnarray*} T_{n} \end{eqnarray*}$ steht und dann die klammern auflösen auf der rechten seite. doch als ich das gemacht habe, stellt ich fest dass ich so nicht auf die $\begin{eqnarray*} b^{n} \end{eqnarray*}$ komme. wie kann ich das umformen?

01.12.2011, 17:13

galoisseinbruder

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Hallo und

ist Dir das $\begin{eqnarray*} T_0 \end{eqnarray*}$ in der Formel aufgefallen?
Durch direktes Umformen geht das also nicht. Man könnte für $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ sukzessive $\begin{eqnarray*} T_{n-1} , T_{n_2} \end{eqnarray*}$ usw.. einsetzten. Oder man zeigt die Formel durch Induktion (was im Wesentlichen dasselbe ist, aber deutlich angenehmer aufzuschreiben)

01.12.2011, 17:28

engelchen357

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wie würde das dann mit der induktion gehen? das verfahren ist mir bekannt. aber nur dafür, dass wenn ich dann als induktionsbedingung n+1 einsetzen und dann auf das entsprechende komme. hier hab ich ja zwei formel, die ich verwenden muss. das verwirrt mich.

01.12.2011, 17:32

galoisseinbruder

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Du zeigst:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} T_{n} = (T_{0} - T_{U}) * b^{n} + T_{U} ?? \end{eqnarray*}$

im Induktionsschritt beginnst Du dann mit der Formel:
$\begin{eqnarray*} T_{n+1} - T_{n} = a (T_{n} - T_{U}) \end{eqnarray*}$
und setzt dort Deine I.V. ein.

01.12.2011, 17:44

engelchen375

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also zu zeigen ist, dass die formel

Zitat:

$\begin{eqnarray*} T_{n} = (T_{0} - T_{U}) * b^{n} + T_{U} \end{eqnarray*}$

gilt.

dann folgt der induktions anfang:

man setzt n=1 und dann müsste es stimmen.

dann folgt der Induktionsschritt.

die I.V. ist :

Zitat:

$\begin{eqnarray*} T_{n} = (T_{0} - T_{U}) * b^{n} + T_{U} ?? \end{eqnarray*}$

und die I.B. ist ja dann eig die obrige formel nur mit $\begin{eqnarray*} T_{n+1} \end{eqnarray*}$ oder nicht? und dann kommt dieses ganze umformen. aber wo benutze ich hier nun die andere formel?

01.12.2011, 17:46

HAL 9000

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Durch Addition von $\begin{eqnarray*} T_n-T_U \end{eqnarray*}$ zur Iterationsformel $\begin{eqnarray*} T_{n+1}-T_n = a(T_n-T_U) \end{eqnarray*}$ gelangt man direkt zu

$\begin{eqnarray*} T_{n+1}-T_U = (a+1)(T_n-T_U) \end{eqnarray*}$ ,

d.h., $\begin{eqnarray*} (T_n-T_U) \end{eqnarray*}$ ist eine geometrische Folge mit Quotient $\begin{eqnarray*} q=a+1 \end{eqnarray*}$ , woraus die explizite Darstellung eigentlich direkt folgt (formal ist es natürlich die genannte Induktion).

01.12.2011, 17:58

engelchen375

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ohje das hab ich jetzt garnicht verstanden. mir ist die geometrische folge bekannt aber darauf angewandt erkenne ich das nicht unglücklich

01.12.2011, 18:12

galoisseinbruder

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Zitat:

und die I.B. ist ja dann eig die obrige formel nur mit $\begin{eqnarray*} T_{n+1} \end{eqnarray*}$ oder nicht?

ja.

Zitat:

aber wo benutze ich hier nun die andere formel?

Dazu habe ich mich bereits geäußert.

Zur geometrischen Folge:
Wie HAL 9000 schön ausgeführt hat ist $\begin{eqnarray*} x_n:=T_n-T_U \end{eqnarray*}$ eine geometrische Folge mit Quotient a+1 =b, d.h. es ist $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=b x_n \end{eqnarray*}$ für alle n.
Daraus folgt die gewünschte Aussage direkt.

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