Beweis lineare Hülle

01.12.2011, 17:15	DudiPupan	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis lineare Hülle Hallo, ich arbeite gerade an folgender Aufgabe, aber stehe total auf dem Schlauch: Entscheiden Sie (mit Beweis!) die folgende Aussage: $\begin{eqnarray} (3,-1,0,-1) \in \mathbb R^{4} \end{eqnarray}$ ist Element von $\begin{eqnarray} span( \left\{ (2,-1,3,2),(-1,1,1,3), (1,1,9,-5) \right\} ) \end{eqnarray}$ Ich weiß nicht genau, wie ich das zeigen oder wiederlegen soll. Vielen Dank
01.12.2011, 17:17	RedNaxela22	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst einfach versuchen den Vektor als Linearkombination deiner 3 Vektoren im Span darzustellen Entweder es geht oder es geht nicht
01.12.2011, 17:34	DudiPupan	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, kann ich das dann so machen?! $\begin{eqnarray} x_{1}(2,-1,3,2)+x_{2}(-1,2,2,-3)+x_{3}(1,1,9,-5)=(3,-1,0,-1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} => 2x_{1}-x_{2}+x_{3}=3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -x_{1}+x_{2}+x_{3}=-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3x_{1}+x_{2}+9x_{3}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x_{1}-3x_{2}-5x_{3}=-1 \end{eqnarray}$ daraus ergibt sich die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 9 & 0 \\ 2 & -3 & -5 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da diese nicht invertierbar ist, gibt es für das LGS keine Lösung, damit ist $\begin{eqnarray} (3,-1,0,-1) \end{eqnarray}$ kein Element
01.12.2011, 17:37	RedNaxela22	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau
01.12.2011, 17:39	DudiPupan	Auf diesen Beitrag antworten »
Super Vielen Dank
01.12.2011, 17:54	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist aber nicht die richtige Begründung, möchte ich mal anmerken. Diese gesamte Matrix würde man sowieso nicht invertieren, die letzte Spalte ist ja die rechte Seite des LGS. Die übliche Schreibweise ist diese: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \begin{array}{ccc\|c}2 & -1 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 9 & 0 \\ 2 & -3 & -5 & -1\end{array}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So, die Koeffizientenmatrix des LGS (alles links vom Strich) kann natürlich nicht invertierbar sein, sie ist ja nicht quadratisch. Daraus kannst du aber nicht folgern, dass es keine Lösungen hat. Hier ist das so, das LGS ist unlösbar, aber es gibt auch Fälle, da klappt es. Wollte ich nur mal anmerken.
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