Quadratische Gleichungen mit Parametern-Quadratische Funktionen-Wurzelfunktionen-Pq-Formel

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Savier Fulton Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Gleichungen mit Parametern-Quadratische Funktionen-Wurzelfunktionen-Pq-Formel
Hallo,

Ich bin in der 9. Klasse vonm Gymnasium und Freitag schreibe ich ne Arbeit, die wohl mein Leben entscheidet.

Ich habe große Probleme...mit diesen 2 Sachen, die ich oben beim Thema angesprochen habe...

Die erste Frage:
1.)Wie funktioniert genau das Rechnen mit der PQ-Formel?
Und wie wendet man sie an?

Ich habe hier eine Beispielaufgabe:
(3x-2)(7-2x)=(x+9)(9x-6)

2.)Und das mit der Verschiebung, Spieglung, Verstauchung,Streckung der Normalparabel verstehe ich auch nicht, bitte erklärt es mir.

Beispielaufgaben:
Von einer Normalparabel ist bekannt:
An den -2 und 4 wird die 1. Koordinantenachse von der Parabel geschnitten...Zeichne die Parabel.Notiere den Term der zugehörigen Funktion.

Beispielaufgabe:
Gib an, wie man den Graphen der Funktion schrittweise aus der normalparabel erhalten kann.Notiere die Koordinanten des Scheitelpunktes. In welchem Bereich für x fällt der Graph, in welchem Bereich steigt er?
x-x Quadrat + 8x +7

3.)Die quadratische Funktion f hat den therm:
f (x)=-2x Quadrat-6x-2,5
Bestimme die Koordinanten des Scheitelpunktes des Graphen f.

4.)Ich verstehe die Quadratische Ergänzung nicht ganz...bitte erklären.

5.)Die Normalparabel wird um 1 Einheit nach links verschoben, dann in Richtung der 2. Koordinantenachse mit dem Faktor(-1,5) gestreckt, schließlich um 4 Einheitren nach oben verschoben.
Zu welcher Funktion f gehört dieser Graph?
Notiere den Therm in der Form f(x)=axQuadrat+bx+c.
Gib den Scheitelpunkt des Graphen und die Gleichung desr Symmetrieachse an.


Bitte erklärt mir das schnell und mit diesen Beispielaufgaben.

Bitte,bitte,bittwe

Es geht um die Versetzung...jDanke von mir...
Savier Fulton Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich danke allen für eine Antwort..

Aber ich brauche schnelle und gute Antworten...Bitte, bitte...hift mir...
hummma Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1: Du musst beide seiten zunaechst ausmultiplizieren und die Gleichung dann nach null aufloesen. Danach noch fallenden Potenzen ordnen und dann in die pq-Formel einsetzen.
zu 2: Die allgemeine Gleichung einer Normalparabel mit den Nullstellen x1 und x2 ist: (Satz von Vieta)
Die gesuchte Parabel hat also die gleichung:

Ich nehm mal an des is die gleichung fuer die zweite Beispiel aufgabe:

Du bringst die Gleichung erstmal in Scheitelpunktform:

Und dann siehst du dann dass die Parabel um 9 nach unten und um 4 nach links verschoben ist. Da der scheitel bei x=-4 ist und die parabel nach oben geoefnet ist steigt der graph im intervall
So ich hab jetzt erstmal keine Zeit mehr fuer die anderen Fragen. Frag nach wenn dir irgendwas unklar ist.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Der geplottete Graph:
hummma Auf diesen Beitrag antworten »

zu 5: .)Die Normalparabel wird um 1 Einheit nach links verschoben, dann in Richtung der 2. Koordinantenachse mit dem Faktor(-1,5) gestreckt, schließlich um 4 Einheitren nach oben verschoben.
Zu welcher Funktion f gehört dieser Graph?
Notiere den Therm in der Form f(x)=axQuadrat+bx+c.
Gib den Scheitelpunkt des Graphen und die Gleichung desr Symmetrieachse an.

f(x)=x^2 um 1 nach links --> f(x)=(x+1)^2 dann mit dem Faktor -1,5 gesstreckt --> f(x)=-1,5(x+1)^2 und dann um 4 nach oben -->
f(x)=(x+1)^2+4 =x^2 +2x+5 . Der scheitelpunkt liegt bei S(-1/4) die Symmetrieachse ist bei x=-1.

Ok und jetzt zu quad. Ergänzung: Ich probiers mal an hand von nem beispiel zu Erklaeren.



1. Den fakor beim x^2 ausklammern:



2. Den Term in der klammer so ergänzen dass man eine binomische Formel bekommt.



Dann hast du die Funktion in der Scheitelpunktform und kannst den Scheitel ablesen. Hier : S(-2|-1)
Savier Fulton Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnellen Antworten...hab aber noch einige Fragen nahmlich:

Wie funktiopniert die PQ Formel genau?
Bitte mit Beispiel vonunglücklich 8-5x)(3x+4)=-x(4+11x)...

Und wie kann ich an einer Parabel erkennen, ob sie gestreckt, gespiegelt, gestaucht , verschobenist?
Bitte auch mit Beispiel.

Und bitte erklärt mir die Begriffe gestreckt, gespiegrlt, gestaucht oder verschoben..

Und noch eine Frage bei einer Texaufgabe:
WEnn man bei einem Quadrat die Länge verdoppelr, die Breite um 5cm verringert,so erhält man ein Rechteck, dessen Fläache um 24cmQuadrat größr ist als die Fläche des Quadrates. Welche Seitenlänge hat das Quadrat?

Und noch eine Frage:
Gib an, um wie viele Einheiten die Normalparabel nach rechts bzw. nach links verschoben werden muss, damit die verschobene Parabel Graph der Funktion mit der Gleichung ist:
y= xQuadrat + 11x + 30,25

Bitte löst die Aufgaben mit vieln Erklärungen, damit ich dahinter komme.

Viel Dank

Bitte Bitte schnell..und ausführlich!
 
 
Savier Fulton Auf diesen Beitrag antworten »

Beeilt euch mit den possten...

Morgen ist die Arbeit..
hummma Auf diesen Beitrag antworten »





und jetzt kannst dus einfach in die Formel einsetzen. --> x1=1.274 ; x2=-0.966 (ich rechne des mit ner andren formel deshalb hab ichs jetzt nicht weiter ausgefuerht. Wenn dir des unklar ist dann such ich die pq-Formel raus und erklaers dir.)

Beim erkennen, ob eine Parabel gestreckt, gespiegelt, gestaucht , verschoben ist nur der Faktor vor dem x^2 interessant. ( wenn die parabel in der scheitelpunkt form steht f(x)=a(x-b)^2+c dannist a der Faktor)

Gestreckt fuer |a|>1; (die parabel ist breiter als die normalparabel)
gestaucht fuer |a|<1; (die parabel ist schmaeler als die normalparabel)
gespiegelt fuer a<0 ; (die parabel ist nach unten geoeffnet)
fuer a>0 ist die Parabel nach oben geoeffnet
Savier Fulton Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort...
Wär gut wenn einer von euch mir nochmal die Pq Formel erklärt..

Beim lernen bin ich bei einer Aufghabe hängen geblieben:
Forme den Funktionsterm um in die Scheitelpunktform a(x-d)Quadrat +e
Notiere dann den Koordinanten des Scheitelpunktes. Ist die Parabel nach oben oder unten geöffnet?
f(x)=-2xQuadrat + 6x -2,5

Und noch eine Frage bei einer Texaufgabe:
WEnn man bei einem Quadrat die Länge verdoppelr, die Breite um 5cm verringert,so erhält man ein Rechteck, dessen Fläache um 24cmQuadrat größr ist als die Fläche des Quadrates. Welche Seitenlänge hat das Quadrat?

Und noch eine Frage:
Gib an, um wie viele Einheiten die Normalparabel nach rechts bzw. nach links verschoben werden muss, damit die verschobene Parabel Graph der Funktion mit der Gleichung ist:
y= xQuadrat + 11x + 30,25

Bitte um schnelle und ausführliche gute Antwort...

Danke für alles!

Ihr hilft mir sehr!
hummma Auf diesen Beitrag antworten »

Ich find die pq-Formel auf die schnelle nicht wenn du sie mir gibst dann kann ichs dir erklaeren.
Zu der 1. aufgabe:

Seitenlaenge := a


Und dann mit pq formel.

zur 2. aufgabe:

da musst du halt wieder quadt. ergänzen.



Und dann siehst du dass du die Parabel um 11 nach links verschieben musst
Savier Fulton Auf diesen Beitrag antworten »

Beim lernen bin ich bei einer Aufghabe hängen geblieben:
Forme den Funktionsterm um in die Scheitelpunktform a(x-d)Quadrat +e
Notiere dann den Koordinanten des Scheitelpunktes. Ist die Parabel nach oben oder unten geöffnet?
f(x)=-2xQuadrat + 6x -2,5

Und das verstehe ich nicht:
zur 2. aufgabe:

da musst du halt wieder quadt. ergänzen.

y xQuadrat+11x+30,25=(x+5,5)Quadrat

Warum (x+5,5)Quadrat? und nicht nur 5,5Quadrat?
Und wie rechnet man die Aufgabe zu Ende?
hummma Auf diesen Beitrag antworten »

f(x)=-2x^2 + 6x -2,5

f(x)=-2(x^2+3x-5/4)= -2(x^2-3x+(3/2)^2-(3/2)^2-5/4)=
-2[(x-3/2)^2 -5/4-3/2)^2] = (x-3/2)^2+11/2

--> Die parabel is um 3/2 nach rechts und um 11/2 nach oben verschoben. Das -2 is ja der Faktor a den ich oben schonmalerklaert hab.
Savier Fulton Auf diesen Beitrag antworten »

Und das verstehe ich nicht:
zur 2. aufgabe:

da musst du halt wieder quadt. ergänzen.

y xQuadrat+11x+30,25=(x+5,5)Quadrat

Warum (x+5,5)Quadrat? und nicht nur 5,5Quadrat?
Und wie rechnet man die Aufgabe zu Ende?
hummma Auf diesen Beitrag antworten »

Des is schon ne binomische Formel:

y =x^2+11x+30,25=x^2+11x+(11/2)^2=(x+11/2)^2

Und dann is die Parabl in der scheitelpunkt form und du kannst ablesen dass du die Normalparabel um 11/2 nach links verschieben musst um auf den Graphen der funktion zu kommen.
Savier Fulton Auf diesen Beitrag antworten »

Dann noch ne Frage:
Beschreibe, wie man den Graphen von f schrittweise aus der Normalparabel gewinnen kann. Geib an ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. Notiere den Funktionstherm in der Form F(x)=axQuadrat+bx+c

f(x)=3(x-2,5)Quadrat -4,5

Danke für die Große Hilfe:

Noch das dann ich bin fertig
Nixchegga Auf diesen Beitrag antworten »

Hello!
Wollte etwas verspätet nochmal versuchen die pq-Formel einzuschmeißen, hoffe es klappt und hilft

Viel Glück dann noch!!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Savier Fulton
Dann noch ne Frage:
Beschreibe, wie man den Graphen von f schrittweise aus der Normalparabel gewinnen kann. Geib an ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. Notiere den Funktionstherm in der Form F(x)=axQuadrat+bx+c

f(x)=3(x-2,5)Quadrat -4,5

Danke für die Große Hilfe:

Noch das dann ich bin fertig


f(x) = 3*(x - 2,5)² - 4,5

3 ist der Streckungsfaktor der Parabel (die Einheitsparabel ist mit diesem multipliziert), nachdem er positiv ist, ist diese Parabel wie die Einheitsparabel ebenfalls nach oben offen!

Der Scheitel der Parabel ergibt sich, wenn man vom Nullpunkt aus in der x-Richtung um 2,5 nach rechts (wegen des Minus') und in der y - Richtung um 4,5 nach unten (wegen des Minus') geht, er ist also S(2,5 | -4,5).

Die Parabel entsteht also aus der Einheitsparabel, wenn man diese um 2,5 nach rechts und um 4,5 nach unten verschiebt und mit dem Faktor 3 streckt.

Gr
mYthos
Savier Fulton Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ich habe noch eine Letzte Unklarheit:

Bitte erklärt mir das langsam und ausführlich mit allen Schritten:

Habs grade nicht kapiert:

Gib an, um wie viele Einheiten die Normalparabel nach rechts bzw. nach links verschoben werden muss, damit die verschobene Parabel Graph der Funktion mit der Gleichung ist:
y= xQuadrat + 11x + 30,25

Bitte löst diese Aufgabe so gut wie möglich
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

humma hat das in seiner Antwort ja bereits beschrieben.

Allerdings steht in dieser Aufgabe das vollständige Quadrat zufällig schon da (30,25 ist eben schon das Quadrat von 5,5).

Die Ergänzung zu einem vollständigem Quadrat ist jedenfalls immmer durchzuführen, aber dabei nicht vergessen, dass beide Seiten der Gleichung gleich bleiben müssen.

Also nochmals rein formal, das hat den Sinn, dass es auch dann geht, wenn nach der quadratischen Ergänzung noch eine restliche Zahl übrigbleiben sollte, diese gibt dann an, wie die Normparabel in der y-Richtung zu verschieben ist.

y = x² + 11x + 30,25
y = x² + 11x + (11/2)² + 30,25 - (11/2)²

Also der Trick ist der, dass du die (11/2)², die als 3. Summand dazugegeben wurden, entweder auch links zum y dazugibst oder hintennach gleich wieder abziehst, was dasselbe ist!

y = (x + (11/2))² + 30,25 - 30,25
y = (x + (11/2)² + 0

Die Parabel ist also eine in x-Richtung um 5,5 nach links (wegen des Plus') verschobene Normparabel, in y-Richtung wird in diesem Fall wegen der 0 nicht verschoben.

Gr
mYthos
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