Kegel im Kegel: Extremwertproblem

01.12.2011, 18:32

Riyou

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Kegel im Kegel: Extremwertproblem

Meine Frage:
Hallo,
Wir haben heute eine Hausaufgabe bekommen, die ich nicht hinbekomme.

In einem Kegel wird ein weiterer Kegel umgedreht hineingetan. Nun soll berechnet werden, wie die Höhe und der Radius gewählt werden muss damit das Volumen des inneren Kegels maximal wird, wobei das Volumen und die Höhe des äußeren Kegels konstant sind. Als bedingung wird noch genannt, dass der Boden des inneren Kegels die außenwand des äußeren Kegeln berühren muss.

Hoffe ihr könnt mir helfen! =)

Meine Ideen:
Also die Ausgangsfunktion kenne ich bereits: $\begin{eqnarray*} V = \frac{\pi }{3}r²h \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich leider nicht wie ich die nebenbedingung formulieren muss.

01.12.2011, 18:40

sulo

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RE: Kegel im Kegel extremwertproblem
Versuche einmal, das Verhältnis der Radien und der Höhen von großem und kleinem Kegel ins Verhältnis zu setzen.
Denke dabei an die Strahlensätze.

smile

smile

01.12.2011, 18:47

Riyou

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RE: Kegel im Kegel extremwertproblem
Ahh! Danke =) wenn ich mich recht entsinne wäre also der Strahlensatz so:

$\begin{eqnarray*} \frac{r}{2r} = \frac{R}{2R} \end{eqnarray*}$

nur irgendwie bringt mich das doch nicht weiter oder?

Edit:
mir ist da noch ein zweiter Ansatz eingefallen:

$\begin{eqnarray*} \frac{H-h}{r} = \frac{H}{R} \end{eqnarray*}$

H= höhe äußerer Kegel
h= höhe innerer Kegel
R= Radius äußerer Kegel
r= Radius innerer Kegel

01.12.2011, 18:51

sulo

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RE: Kegel im Kegel extremwertproblem
Wo ist da die Höhe? Und wie kommst du auf das konkrete Verhältnis? verwirrt

verwirrt

Und bedenke: Du kannst nicht direkt mit der Höhe des kleinen Kegels arbeiten:

[attach]22181[/attach]

smile

smile

01.12.2011, 18:56

Riyou

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RE: Kegel im Kegel extremwertproblem
Hast du das auch gesehen?^^

Zitat:

Original von Riyou
Edit:
mir ist da noch ein zweiter Ansatz eingefallen:

$\begin{eqnarray*} \frac{H-h}{r} = \frac{H}{R} \end{eqnarray*}$

H= höhe äußerer Kegel
h= höhe innerer Kegel
R= Radius äußerer Kegel
r= Radius innerer Kegel

01.12.2011, 18:59

sulo

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RE: Kegel im Kegel extremwertproblem
Ja, dieser Ansatz ist richtig Freude

Freude

, er führt dich zur NB.

Die Frage ist, ob du lieber nach r oder h umstellen möchtest.

smile

smile

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01.12.2011, 19:06

Riyou

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RE: Kegel im Kegel extremwertproblem
am besten nach r da hbe ich das dann raus:

$\begin{eqnarray*} r= \frac{H}{R(H-h)} \end{eqnarray*}$

Edit:

so habs in V(h) eingesetzt sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} V(h)= \frac{\pi }{3} *\frac{H²}{R²(H-h)²} * h \end{eqnarray*}$

2. Edit:
hehe war ein bischen dämlich hab vergessen den Kehrwert zu bilden =) natürlcih müssten Zähler und Nenner vertauscht werden =) Also dann so:

$\begin{eqnarray*} V(h)= \frac{\pi }{3} *\frac{R²(H-h)²}{H²} * h \end{eqnarray*}$

01.12.2011, 19:14

sulo

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RE: Kegel im Kegel extremwertproblem
Hmm, ich würde eher nach h auflösen, weil du das r noch quadrierst, das wird dann beim Ableiten etwas unübersichtlich.

Wenn du aber gerne willst, kannst du diesen Weg gehen.

Ich habe nach h umgestellt: $\begin{eqnarray*} h = H - \frac{Hr}{R} \end{eqnarray*}$

Meine Volumengleichung lautet:
$\begin{eqnarray*} V(r) = \frac{1}{3} \pi \cdot r^2\cdot \left( H - \frac{Hr}{R} \right) \end{eqnarray*}$

smile

smile

01.12.2011, 19:17

Riyou

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RE: Kegel im Kegel extremwertproblem
Hey stimmt da hast du recht =)

Ich werde es mal mit deiner Gleichung durchrechnen =) danke hast mir sehr geholfen. Schreibe später das Ergebniss. Wird aber etwas dauern weil ich noch meine freundin abholen muss =)

Danke Danke Danke =)

01.12.2011, 19:19

sulo

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RE: Kegel im Kegel extremwertproblem
Gern geschehen, bis später dann. Wink

Wink

01.12.2011, 20:44

Riyou

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RE: Kegel im Kegel extremwertproblem
Hey =)

Ich bin leider zu doof um das auszurechnen =) ich scheitere schon beim ableiten =) wärst du so lieb und zeigst mir die rechnung?

01.12.2011, 20:53

sulo

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RE: Kegel im Kegel extremwertproblem
Das widerspricht dem Boardprinzip. Ich kann dir aber gerne beim Lösen helfen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zunächst würde ich die Klammer in der Volumenformel auflösen, dann wird das Ableiten einfacher.

smile

smile

01.12.2011, 21:20

Riyou

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dann hab ich das:
$\begin{eqnarray*} \frac{H\pi r²}{3} - \frac{H\pi r³}{3R} \end{eqnarray*}$

01.12.2011, 21:24

sulo

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Stimmt.

Freude

Als Funktionsgleichung wäre es noch besser. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jetzt kannst du ableiten.

smile

smile

01.12.2011, 21:30

Riyou

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okay ich hab mal gegoogelt weil ich mir nciht sicher war wire man brüche ableitet:

$\begin{eqnarray*} V´(h)= \frac{6H\pi r}{9} - \frac{27HR\pi r^2}{9R^2} \end{eqnarray*}$

01.12.2011, 21:39

sulo

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Wie kommst du auf die großen Zahlen? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} V'(r)= \frac{2H\pi r}{3} - \frac{3H\pi r^2}{3R} \end{eqnarray*}$

Den zweiten Bruch kannst du dann noch kürzen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.12.2011, 21:53

Riyou

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so wie du das geschrieben hast hätt ichs auch abgeleitet aber war mir nicht sicher, daher hab ich gegoogelt und da stand dass amn den nenner quadrieren muss O.o hehe nahja =) wahrscheinlich war das falsch =)

dann kommt da ja gekürzt das raus:
$\begin{eqnarray*} V'(r) = \frac{2H\pi r}{3} - \frac{H\pi r^2}{R} \end{eqnarray*}$

dann kann man doch r ausklammern und dann den Satz vom Nullprodukt anwenden um das notwendige Kritrium zu erfüllen (V'(r) = 0 )

also sieht das dann doch so aus:

$\begin{eqnarray*} 0 = r(\frac{2H\pi}{3} - \frac{H\pi r}{R}) \end{eqnarray*}$

also ist r1=0 und r2= $\begin{eqnarray*} \frac{2H\pi}{3} - \frac{H\pi r}{R} \end{eqnarray*}$

und aus $\begin{eqnarray*} 0 =\frac{2H\pi}{3} - \frac{H\pi r}{R} \end{eqnarray*}$

folgt dann laut meiner Rechnung, dass r2 = $\begin{eqnarray*} \frac{2R}{3} \end{eqnarray*}$

01.12.2011, 21:55

sulo

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Sehr gut.

Freude

r = 2/3 R.

(Das andere r ist keine Lösung, kein Kegel hat einen Radius der Länge 0. Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Und was ist mit h?

smile

smile

01.12.2011, 22:34

Riyou

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müsste man nicht erst das hinreichende Kriterium durchführen ? =)

Also die zweite Ableitung lautet ja:

$\begin{eqnarray*} V''(r)= \frac{2H\pi }{3} - \frac{2H\pi r}{R} \end{eqnarray*}$

setzt man 2/3 R ein sieht das wie folgt aus:
$\begin{eqnarray*} V''(\frac{2R}{3} )= -\frac{2H\pi }{3} \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} H \in R+ \end{eqnarray*}$ ist liegt also bei 2/3R ein relatives maximum vor.

für h sieht es dann doch folgendermaßen aus:
man muss doch r=2/3R in die NB einsetzen also steht dann da:

$\begin{eqnarray*} h=H-\frac{H}{R}*\frac{2R}{3} \end{eqnarray*}$

und nach der Umformung kommt bei mir das raus:
$\begin{eqnarray*} h=\frac{H}{3} \end{eqnarray*}$

01.12.2011, 22:45

sulo

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Du hast V''(r) richtig berechnet, aber den falschen Schluss gezogen. Da du einen negativen Ausdruck bekommst, liegt ein Maximum vor, wie es gesucht war. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Deine Gleichung für h stimmt. Freude

Freude

smile

01.12.2011, 22:46

Riyou

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jap beim erneuten durchlesen war mir das auch aufgefallen =) habs bereits editiert =) okay soweit so gut. Aber ich erinnere mich daran dass wir dafür ja globale extrema bestimmen mussten. Also muss ich doch eine Randwertuntersuchung durchführen oder? Nur welche Randwerte habe ich hier? O:

01.12.2011, 22:48

sulo

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Die Grenzen für deine neuen Werte müssen sein: 0<r<R und 0<h<H.

01.12.2011, 23:08

Riyou

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bei der Randwertuntersuchung komme ich nicht weiter.
zunächst muss ich ja V(2/3R) berechnen also setze ich ein und es kommt folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} V(\frac{2R}{3}) = \frac{4RH\pi }{27} - \frac{8R²H\pi }{27} \end{eqnarray*}$

so nun komm ich nicht weiter. Was mach ich denn jetzt? O:

01.12.2011, 23:18

sulo

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Was du da berechnest, ist ja das Volumen des neuen Kegels in Abhängigkeit von den Werten des alten Kegels. Der Nenner des zweiten Bruchs ist nicht richtig.

Als Wert erhältst du V = 4/81 pi·R²·H

Und jetzt kannst du mal 0 und R in die Volumengleichung einsetzen. smile

smile

01.12.2011, 23:27

Riyou

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setzt ich 0 ein kommt 0 raus =) das ist ja klar.
Wenn ich R einsetz kommt auch 0 raus =)

Aber wie kommst du auf V = 4/81 pi·R²·H ? Ich komm da irgendwie nicht drauf.

01.12.2011, 23:35

sulo

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$\begin{eqnarray*} V(r) = \frac{1}{3} \pi \cdot r^2\cdot H - \frac{1}{3} \pi \cdot r^3\cdot\frac{H}{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(\frac{2}{3} R) = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{4}{9}R^2 \cdot H - \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{8}{27}R^3\cdot\frac{H}{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(\frac{2}{3} R) = \frac{4}{27} \pi \cdot R^2 \cdot H - \frac{8}{81} \pi \cdot R^2\cdot H \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(\frac{2}{3} R) = \frac{4}{81} \pi \cdot R^2 \cdot H \end{eqnarray*}$

smile

smile

01.12.2011, 23:47

Riyou

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Danke Danke Danke Danke =) Jetzt hab ich die komplette Aufgabe =) hast mir wirklich sehr geholfen =) Irgendeine Sanktion? ^^ Prost

Prost

01.12.2011, 23:50

sulo

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Sanktion?

verwirrt

Strafe

verwirrt

Doch wohl für keinen von uns beiden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.12.2011, 23:51

Riyou

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nahja Sanktion für mich dass ich ein bischen dämlich bin und das nicht konnte =) hehe

01.12.2011, 23:52

sulo

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Och, du hast das schon ganz prima gemacht, ich musste nur ein bisschen lenken. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wink

01.12.2011, 23:53

Riyou

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gut =) Ich freue mich schon auf morgen auf die Stunde =) werde es wohl an der Tafel mal vorführen mein neu erlangtes Wissen ^^ Danke noch mal und gute Nacht ^^ sollte jetzt mal ins Bett huschen =)

01.12.2011, 23:54

sulo

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Gern geschehen und viel Erfolg. Freude

Freude

Wink

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