Abzählbarkeit

01.12.2011, 20:12	hase23	Auf diesen Beitrag antworten »
Abzählbarkeit Meine Frage: Hallo zusammen. Ich komme bei folgender Aufgabe nicht klar: Sei I eine Menge und für jedes i $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ I sei eine nicht-leere, offene Menge $\begin{eqnarray} U_{i}\subset\mathbb R gegeben. \end{eqnarray}$ Für alle $\begin{eqnarray} i,j\in \end{eqnarray}$ I mit $\begin{eqnarray} i\neq \end{eqnarray}$ j gelte $\begin{eqnarray} U_{i}\cap \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_{j} \end{eqnarray}$ =nicht-leere Menge. Zeigen Sie, dass I abzählbar ist. (b) Sei $\begin{eqnarray} M\subset\mathbb R \end{eqnarray}$ mit der Eigenschaft, dass M nur aus isolierten Punkten besteht. Zeigen Sie, dass dann M bereits abzählbar ist. Meine Ideen: Ich weiß, was ich beweisen muss, aber habe Schwierigkeiten, wie ich das machen soll. Soweit ich das verstanden hab, muss man bei (a) zeigen, dass jedes $\begin{eqnarray} U_{i} \end{eqnarray}$ mindestens eine rationale Zahl enthält. Aber wie zeige ich das. Kann mir jemand helfen? Teilaufgabe (b) habe ich so verstanden , dass man eine Umgebung $\begin{eqnarray} U_{i} \end{eqnarray}$ finden soll, so dass für $\begin{eqnarray} x_{i}\neq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{j} \end{eqnarray}$ der oben genannte Durchschnitt von $\begin{eqnarray} U_{i}\cap \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_{j} \end{eqnarray}$ =nicht-leere Menge gilt
01.12.2011, 21:34	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Bist du dir sicher, dass da nicht $\begin{eqnarray} U_i \cap U_j = \emptyset \end{eqnarray}$ stehen soll? Denn so wie a) momentan gestellt ist, halte ich sie für falsch. (Betrachte $\begin{eqnarray} I = \mathbb R \backslash \{ 0 \} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U_i = (-i,i) \end{eqnarray}$ )
01.12.2011, 22:37	hase23	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach sorry! Natürlich muss da $\begin{eqnarray} U_i \cap U_j = \emptyset \end{eqnarray}$ stehen. Hab mich vertan
02.12.2011, 11:33	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, dann stimmen auch deine Ideen. a): Die Tatsache das $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ dicht in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ist wird hilfreich sein. b): Die Eigenschaft, dass die Punkte isoliert sind sichert dir die Existenz genau solcher $\begin{eqnarray} U_i \end{eqnarray}$ zu.

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