Balls in Bins

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donvito Auf diesen Beitrag antworten »
Balls in Bins
Die Stochastik-Vorlesung ist bei mir schon 3 Jahre her. Deshalb stellt mich folgende Aufgabe vor eine Herausforderung:

Gegeben sind 2n Bälle und n Körbe.

1. Wie groß ist die Wsk, dass in jedem Korb mindestens ein Ball liegt.

Dazu fällt mir ein:
A = In jedem Korb liegt mindestens ein Ball
B = in jedem Korb liegt genau ein Ball

P(A) = 1 - P(B) <---richtich?

Und die Wsk einen Ball in einen bestimmten Korb zu legen ist 1/n. Vermutlich geht das irgendwie mit dem Binomialkoeffizienten, denn der beschreibt ja die Anzahl möglichkeiten k aus n auszuwählen. Leider habe ich nicht so wirklich einen Plan, wie ich meine obigen Erkenntnisse zusammenführen kann.
donvito Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, für n balls und n bins müsste es wohl so aussehen



Doch wie kriege ich da nun die Tatsache rein, dass ich doppelt soviele Bälle habe? Dadurch wird das Ganze ja noch viel unwahrscheinlicher.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von donvito
Gegeben sind 2n Bälle und n Körbe.

1. Wie groß ist die Wsk, dass in jedem Korb mindestens ein Ball liegt.

Irgendwie fehlt da was an Information, soll man sich wohl "zwischen den Zeilen" dazudenken, nämlich nach welchen Prinzip die 2n Bälle verteilt werden - vermutlich so:

Jeder der 2n Bälle wird zufällig gleichverteilt einem der n Körbe zugeteilt, und das unabhängig voneinander.

---------------------------

Deine richtige Lösung für Bälle ist für mehr als Bälle leider sehr schwer (um nicht zu sagen: unmöglich) ausbaubar.



Ein möglicher Lösungsansatz ergibt sich durch Anwendung Siebformel auf die Ereignisse

... Korb bleibt leer

für .
donvito Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, natürlich zufällig, unabhängig und gleichverteilt :-)

Siebformel... mal Wiki anwerfen...
donvito Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, kann man die Siebformel tatsächlich auch für beliebig große n anwenden? Ich kenne das nur für kleine n wie 3 oder 4... Scheint mir auch ziemlich umständlich dann.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von donvito
Hm, kann man die Siebformel tatsächlich auch für beliebig große n anwenden?

Warum sollte das nicht möglich sein? Weil es zu aufwändig aussieht? Big Laugh
 
 
donvito Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, aber wir benutzen in dieser Vorlesung nie die Siebformel. Der Prof berechnet das immer irgendwie anders. Hast du noch einen anderen Ansatz in petto?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Und wenn ich mir das Endergebnis so ansehe, habe ich ernste Zweifel, dass sich das Endergebnis auf wundersame Weise sehr vereinfachen lässt. Augenzwinkern
donvito Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das Endergebnis ist 0, mir schon klar. Weil man nicht 2n Kugeln in n Körbe verteilen kann, sodass nur 1 Kugel in jedem Korb ist.

Damit wäre die Gesamtwsk. dann 1-0 = 1.

Die Frage ist nur ob man den Rechenweg braucht Big Laugh

In der nächsten Aufgabe habe ich jetzt auch n Bälle in n^2 Körben. Und ich soll die Wsk. berechnen, dass in einem Korb 2 drinne sind.

Geht das wieder mit der E-A-Formel? Meine Idee wären zwei Mengen, einmal Körbe mit 0 Bällen und Körbe mit einem Ball. Nur wie gieße ich das in Formeln? Hammer
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von donvito
Ja, das Endergebnis ist 0, mir schon klar. Weil man nicht 2n Kugeln in n Körbe verteilen kann, sodass nur 1 Kugel in jedem Korb ist.

In der Aufgabenstellung ist von "mindestens ein Ball" statt "genau ein Ball" oder "höchstens ein Ball" pro Korb die Rede! Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gewiss nicht gleich Null.


EDIT: Ach du redest jetzt von B statt A? ist natürlich richtig, da muss man keine Worte drüber verlieren. Augenzwinkern

Zitat:
Original von donvito
A = In jedem Korb liegt mindestens ein Ball
B = in jedem Korb liegt genau ein Ball

P(A) = 1 - P(B) <---richtich?

Das ist falsch - wie kommst du darauf? Das Gegenteil von ist

= Es gibt einen Korb, der keine Bälle enthält.

Und dieses Ereignis ist mit den oben von mir definierten Ereignissen über



verknüpft. Und darauf wird jetzt die Siebformel (oder wie du sagst "E-A-Formel") angewandt.
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